Chapitre II. Suites de nombres réels
II.4.23. Il découle des hypothèses que 0 < lim
n→+∞
a n < +∞. L’égalité
lim
n→+∞
a n · lim
n→+∞
1
an = 1 combinée au problème précédent donne
lim
n→+∞
a n =
1
lim
n→+∞
a n
= lim
n→+∞
a n .
Donc, d’après le problème II.4.18, la suite {a n } est convergente.
II.4.24. Supposons que {a n } soit une suite telle que la première égalité soit
vérifiée pour toute suite {b n }. On prend b n = −a n . Il s’ensuit, d’après le problème II.4.21, que
0 = lim
n→+∞
(a n + (−a n )) = lim
n→+∞
a n + lim
n→+∞
(−a n ) = lim
n→+∞
a n − lim
n→+∞
a n .
On en conclut, avec le problème II.4.18, que la suite {a n } est convergente.
II.4.25. Supposons que {a n } soit une suite strictement positive telle que la
première égalité soit vérifiée pour toute suite {b n } strictement positive. On
prend b n =
1
an . D’après le problème II.4.22, on a alors
1 = lim
n→+∞
a n ·
1
a n
= lim
n→+∞
a n · lim
n→+∞
1
a n
= lim
n→+∞
a n ·
1
lim
n→+∞
a n
.
Il s’ensuit que la limite supérieure et la limite inférieure de {a n } sont strictement positives et lim
n→+∞
a n = lim
n→+∞
a n . La suite {a n } est donc convergente
(voir le problème II.4.18).
II.4.26. Évidemment,
lim
n→+∞
n
√ a n
lim
n→+∞
n
√ a n . On montre que
lim
n→+∞
n
√ a n lim
n→+∞
a n+1
an . Si lim
n→+∞
a n+1
an = +∞, l’inégalité est alors évidente.
On suppose donc que lim
n→+∞
a n+1
an = L < +∞. Pour tout ε > 0, il existe k tel
que
a n+1
a n
< L + ε pour n k.
Donc,
a n
a k
=
a n
a n−1
·
a n−1
a n−2
· · ·
a k+1
a k
< (L + ε)
n−k .
D’où,
n
√ a n <
n
√ a k (L + ε)
−k
n (L + ε).
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