Solutions
L’exemple suivant montre que l’hypothèse de continuité est essentielle :
f (x) =
√
2 si x ∈ R \ Q,
0
si x ∈ Q,
g(x) =
0
si x ∈ R \ Q,
√
2 si x ∈ Q.
I.3.16. On suppose qu’il existe x 1 , x 2 et x 3 tels que x 1 < x 2 < x 3 et, par
exemple, f (x 1 ) > f(x 2 ) et f (x 2 ) < f(x 3 ). D’après la propriété des valeurs
intermédiaires, pour tout u tel que f (x 2 ) < u < min {f (x 1 ), f(x 3 )}, il existe
s ∈ ]x 1 , x 2 [ et t ∈ ]x 2 , x 3 [ vérifiant f (s) = u = f (t). Puisque f est injective,
s = t, en contradiction avec le fait que x 1 < s < x 2 < t < x 3 .
I.3.17. Le problème précédent implique que f est soit strictement décroissante, soit strictement croissante.
(a) On suppose que f est strictement croissante et qu’il existe x 0 tel que
f (x 0 ) = x 0 . On choisit, par exemple, f (x 0 ) > x 0 . On a alors f n (x 0 ) > x 0 ,
contrairement à l’hypothèse. Le même argument s’applique au cas où
f (x 0 ) < x 0 .
(b) Si f est strictement décroissante, alors f 2 est strictement croissante.
Puisque f n (x) = x, on obtient f 2n (x) = x, ce qui signifie que la n-ième
itérée de f 2 est l’identité. Donc, d’après (a), f 2 (x) = x.
I.3.18. On remarque que f est injective. En effet, si f (x 1 ) = f (x 2 ), alors
−x 1 = f 2 (x 1 ) = f 2 (x 2 ) = −x 2 et x 1 = x 2 . Il découle de I.3.16 que si f
est continue, elle est soit strictement décroissante, soit strictement croissante.
Dans les deux cas, f 2 est strictement croissante, contradiction.
I.3.19. Comme dans la solution du problème précédent, on peut prouver
que f est injective sur R. Une analyse semblable à celle de la solution du problème I.3.16 montre que f est soit strictement décroissante, soit strictement
croissante. Dans les deux cas, f 2k (k ∈ N ∗ ) est strictement croissante. L’entier n dans la condition f n (x) = −x doit donc être impair. Si f est strictement
croissante, f n l’est aussi, ce qui contredit la condition et f est donc strictement
décroissante. De plus, puisque
f (−x) = f (f
n (x)) = f
n (f (x)) = −f (x),
on voit que f est une fonction impaire (et donc toute itération de f l’est aussi).
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L’exemple suivant montre que l’hypothèse de continuité est essentielle :
f (x) =
√
2 si x ∈ R \ Q,
0
si x ∈ Q,
g(x) =
0
si x ∈ R \ Q,
√
2 si x ∈ Q.
I.3.16. On suppose qu’il existe x 1 , x 2 et x 3 tels que x 1 < x 2 < x 3 et, par
exemple, f (x 1 ) > f(x 2 ) et f (x 2 ) < f(x 3 ). D’après la propriété des valeurs
intermédiaires, pour tout u tel que f (x 2 ) < u < min {f (x 1 ), f(x 3 )}, il existe
s ∈ ]x 1 , x 2 [ et t ∈ ]x 2 , x 3 [ vérifiant f (s) = u = f (t). Puisque f est injective,
s = t, en contradiction avec le fait que x 1 < s < x 2 < t < x 3 .
I.3.17. Le problème précédent implique que f est soit strictement décroissante, soit strictement croissante.
(a) On suppose que f est strictement croissante et qu’il existe x 0 tel que
f (x 0 ) = x 0 . On choisit, par exemple, f (x 0 ) > x 0 . On a alors f n (x 0 ) > x 0 ,
contrairement à l’hypothèse. Le même argument s’applique au cas où
f (x 0 ) < x 0 .
(b) Si f est strictement décroissante, alors f 2 est strictement croissante.
Puisque f n (x) = x, on obtient f 2n (x) = x, ce qui signifie que la n-ième
itérée de f 2 est l’identité. Donc, d’après (a), f 2 (x) = x.
I.3.18. On remarque que f est injective. En effet, si f (x 1 ) = f (x 2 ), alors
−x 1 = f 2 (x 1 ) = f 2 (x 2 ) = −x 2 et x 1 = x 2 . Il découle de I.3.16 que si f
est continue, elle est soit strictement décroissante, soit strictement croissante.
Dans les deux cas, f 2 est strictement croissante, contradiction.
I.3.19. Comme dans la solution du problème précédent, on peut prouver
que f est injective sur R. Une analyse semblable à celle de la solution du problème I.3.16 montre que f est soit strictement décroissante, soit strictement
croissante. Dans les deux cas, f 2k (k ∈ N ∗ ) est strictement croissante. L’entier n dans la condition f n (x) = −x doit donc être impair. Si f est strictement
croissante, f n l’est aussi, ce qui contredit la condition et f est donc strictement
décroissante. De plus, puisque
f (−x) = f (f
n (x)) = f
n (f (x)) = −f (x),
on voit que f est une fonction impaire (et donc toute itération de f l’est aussi).
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