PRÉFACE À L’ÉDITION ANGLAISE
Cet ouvrage est le second volume d’une série de recueils de problèmes d’analyse. Il traite des fonctions réelles d’une variable réelle, à l’exception de la section I.7 où sont abordées les fonctions définies sur un espace métrique. Comme
dans le premier volume, Problèmes d’Analyse I, Nombres réels, suites et séries,
chaque chapitre est divisé en deux parties. La première partie est composée d’exercices et de problèmes, la seconde des solutions à ces problèmes. Bien que souvent
un problème donné admette plusieurs solutions, nous n’en présentons qu’une. De
plus, les problèmes sont divisés en sections suivant les méthodes utilisées pour
leur résolution. Par exemple, si un problème se trouve dans la section Fonctions
convexes, cela signifie que l’on utilise des propriétés des fonctions convexes dans
la solution. Bien que chaque section commence par des exercices relativement
simples, on trouvera aussi des problèmes assez difficiles, dont certains sont, en
fait, des théorèmes.
Ce livre s’adresse principalement aux étudiants en mathématiques mais il
couvre des thèmes que les enseignants pourront inclure dans leurs cours ou utiliser
dans des séances de travaux dirigés. Par exemple, suivant Steven Roman [Amer.
Math. Monthly, 87 (1980), pp. 805-809], nous présentons une démonstration de la
formule bien connue de Faà di Bruno donnant la dérivée n-ième de la composée de
deux fonctions. Les applications de cette formule aux fonctions analytiques réelles
données au chapitre III sont principalement tirées de A Primer of Real Analytic
Functions de Steven G. Kranz et Harold R. Parks. En fait, nous avons trouvé cet
ouvrage si stimulant que nous n’avons pas résisté à y emprunter quelques théorèmes. Nous souhaitons aussi mentionner ici une généralisation du théorème de
Tauber due à Hardy et Littlewood. La démonstration que nous en donnons est
basée sur la publication de Karamata [Math. Zeitschrift, 2 (1918)].
Nous avons emprunté librement dans plusieurs ouvrages, recueils de problèmes
et sections de problèmes de journaux tels que American Mathematical Monthly,
Mathematics Today (en russe) et Delta (en polonais). Nous donnons la liste
Cet ouvrage est le second volume d’une série de recueils de problèmes d’analyse. Il traite des fonctions réelles d’une variable réelle, à l’exception de la section I.7 où sont abordées les fonctions définies sur un espace métrique. Comme
dans le premier volume, Problèmes d’Analyse I, Nombres réels, suites et séries,
chaque chapitre est divisé en deux parties. La première partie est composée d’exercices et de problèmes, la seconde des solutions à ces problèmes. Bien que souvent
un problème donné admette plusieurs solutions, nous n’en présentons qu’une. De
plus, les problèmes sont divisés en sections suivant les méthodes utilisées pour
leur résolution. Par exemple, si un problème se trouve dans la section Fonctions
convexes, cela signifie que l’on utilise des propriétés des fonctions convexes dans
la solution. Bien que chaque section commence par des exercices relativement
simples, on trouvera aussi des problèmes assez difficiles, dont certains sont, en
fait, des théorèmes.
Ce livre s’adresse principalement aux étudiants en mathématiques mais il
couvre des thèmes que les enseignants pourront inclure dans leurs cours ou utiliser
dans des séances de travaux dirigés. Par exemple, suivant Steven Roman [Amer.
Math. Monthly, 87 (1980), pp. 805-809], nous présentons une démonstration de la
formule bien connue de Faà di Bruno donnant la dérivée n-ième de la composée de
deux fonctions. Les applications de cette formule aux fonctions analytiques réelles
données au chapitre III sont principalement tirées de A Primer of Real Analytic
Functions de Steven G. Kranz et Harold R. Parks. En fait, nous avons trouvé cet
ouvrage si stimulant que nous n’avons pas résisté à y emprunter quelques théorèmes. Nous souhaitons aussi mentionner ici une généralisation du théorème de
Tauber due à Hardy et Littlewood. La démonstration que nous en donnons est
basée sur la publication de Karamata [Math. Zeitschrift, 2 (1918)].
Nous avons emprunté librement dans plusieurs ouvrages, recueils de problèmes
et sections de problèmes de journaux tels que American Mathematical Monthly,
Mathematics Today (en russe) et Delta (en polonais). Nous donnons la liste