Chapitre III. Suites et séries de fonctions
En conséquence,
f
(m) (x)
+∞
n=m
C
ρ n n(n − 1) · · · (n − m + 1) |x − x 0 |
n−m .
En utilisant l’identité
+∞
n=m
n(n − 1) · · · (n − m + 1)x
n−m =
m!
(1 − x)
m+1 , |x| < 1,
on arrive à
f
(m) (x)
ρ
−m
+∞
n=m
C
ρ n−m n(n − 1) · · · (n − m + 1) |x − x 0 |
n−m
=
Cm!
ρ m
1 −
|x−x 0 |
ρ
m+1
Cρm!
(ρ − ρ 1 )
m
pour |x − x 0 | < ρ 1 < ρ. On peut donc prendre J = ]x 0 − ρ 1 , x 0 + ρ 1 [, A = Cρ
et B = ρ − ρ 1 .
III.4.18. [18]. On pose
f (x) =
1
1 − A(x − 1)
pour |x − 1| <
1
A
et
g(t) =
1
1 − t
pour |t| < 1.
On a alors
h(t) = (f ◦ g)(t) =
1 − t
1 − (A + 1)t
.
Clairement,
f (x) =
+∞
n=0
A
n (x − 1)
n , g(t) =
+∞
n=0
t
n .
De plus,
h(t) =
1
1 − (A + 1)t
−
t
1 − (A + 1)t
=
+∞
n=0
(1 + A)
n t
n
−
+∞
n=0
(1 + A)
n t
n+1
= 1 +
+∞
n=0
A (1 + A)
n−1 t
n .
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