Chapitre III. Suites et séries de fonctions
En prenant n = 2k, on obtient
f (2k) (0)
x 2k
(2k)!
>
2kx
e
2k
> 1 pour x = 0 et k >
e
2x
.
La série de Taylor de f en 0 est divergente pour x = 0 et l’égalité n’est pas
vérifiée pour x = 0.
III.4.4. On suppose d’abord que x > 0. Le reste de Lagrange dans la formule
de Taylor appliquée à f (x) = (1 + x) α (voir II.3.3(a)) est
r n (x) =
α(α − 1) · · · (α − n)
(n + 1)!
x
n+1 (1 + θx)
α−n−1 .
Pour |x| < 1, on a
lim
n→+∞
α(α − 1) · · · (α − n)
(n + 1)!
x
n+1 = 0.
Pour voir ceci, on applique, par exemple, II.2.31 (vol. I). En conséquence,
pour prouver que lim
n→+∞
r n (x) = 0, il suffit de montrer que
(1 + θx)
α−n−1
est une suite bornée. Ceci se déduit des inégalités évidentes suivantes :
1 (1 + θx)
α
(1 + x)
α
2
α pour α 0
et
2
α
(1 + x)
α
(1 + θx)
α
1 pour α < 0,
et (1 + θx)
−n
1. On a donc prouvé l’inégalité demandée pour 0 < x < 1.
On passe maintenant au cas où x < 0. Le reste de Cauchy dans la formule de
Taylor appliquée à f (x) = (1 + x)
α (voir II.3.3(b)) est
r n (x) =
α(α − 1) · · · (α − n)
(n + 1)!
x
n+1 (1 − θ)
n (1 + θx)
α−n−1 .
Comme précédemment, il suffit de montrer que
(1 − θ)
n (1 + θx)
α−n−1
est
une suite bornée. Puisque x ∈ ]−1 , 0[, on voit que
(1 − θ)
n
1 − θ
1 + θx
n
< 1.
De plus,
1 (1 + θx)
α−1
(1 + x)
α−1
pour α 1
et
(1 + x)
α−1
(1 + θx)
α−1
1 pour α 1.
Ceci conclut la démonstration dans le cas où x ∈ ]−1 , 0[.
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