Chapitre II. Dérivation
II.5.17.
(a) L’inégalité à prouver est équivalente à
1 +
b
x
ln(1+
x
a )
< e
b
a .
Puisque ln(1 + t) < t pour t > 0,
1 +
b
x
ln(1+
x
a )
<
1 +
b
x
x
a
=
1 +
b
x
x
b
b
a
< e
b
a .
(b) On définit pour m, n ∈ N ∗ la fonction f par
f (x) =
1 +
x
m
m
1 −
x
n
n
, |x| < min {m, n} .
On a f (x) < 0 si x > 0 et f (x) > 0 si x < 0, donc f (x) < f(0) = 1
pour x = 0, |x| < min {m, n}, ce qui implique le résultat cherché.
(c) On pose f (x) = ln
√
1 + x 2 + 1
−
1
x − ln x, x > 0. On a
f
(x) =
(1 − x)
√
1 + x 2 + 1
+ x 2
x 2
√
1 + x 2 + 1 + x 2
.
Clairement, f (x) > 0 si 0 < x 1. Si x > 1, alors
(1 − x)
1 + x 2 + 1
+ x
2 > 0
si et seulement si
x
2 > (1 − x)
1 + x 2 + 1
.
Cette dernière inégalité est équivalente à
x 2
x − 1
− 1 >
1 + x 2 ,
qui peut se prouver en élevant les deux membres au carré. Donc,
f (x) > 0 pour tout x > 0. De plus, puisque
lim
x→+∞
ln
1 +
√
1 + x 2
x
= 0,
on voit que lim
x→+∞
f (x) = 0 et f (x) < 0 pour tout x > 0.
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