Chapitre II. Dérivation
II.5. Applications des dérivées
II.5.1.
(a) En appliquant le théorème des accroissements finis généralisé aux fonctions f (x) = 1 − cos x et g(x) =
x 2
2 , on obtient
1 − cos x
x 2
2
=
sin θ
θ
< 1
pour x = 0.
(b) Pour x 0, on considère les fonctions f (x) = x − sin x et g(x) =
x 3
3! . Le
théorème des accroissements finis généralisé combiné à (a) montre que
x − sin x
x 3
3!
=
1 − cos θ
θ 2
2
< 1,
ce qui implique que l’inégalité est bien vérifiée. On note que pour x < 0,
on a sin x < x −
x 3
3! .
(c) On applique le théorème des accroissements finis généralisé aux fonctions
f (x) = cos x − 1 +
x 2
2
et g(x) =
x 4
4!
sur l’intervalle d’extrémités 0 et x et on utilise (b).
(d) On applique le théorème des accroissements finis généralisé aux fonctions
f (x) = sin x − x +
x 3
3!
, g(x) =
x 5
5!
, x 0
et on utilise (c).
II.5.2. Utilisez une récurrence et raisonnez de la même façon que dans la
solution du problème précédent.
II.5.3. En appliquant le théorème des accroissements finis généralisé aux
fonctions f et successivement g(x) = x, g(x) = x 2 et g(x) = x 3 , on voit que
f (b) − f (a)
b − a
=
f (x 1 )
1
,
f (b) − f (a)
b 2 − a 2 =
f (x 2 )
2x 2
,
f (b) − f (a)
b 3 − a 3 =
f (x 3 )
3x 2
3
.
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