Chapitre II. Dérivation
II.2.20. On se donne x 0 ∈ ]a , b[. Pour tout x ∈ ]a , b[, d’après le théorème des accroissements finis, il existe c se trouvant entre x 0 et x tel que
f (x) − f (x 0 ) = f (c)(x − x 0 ). Donc,
f
(c)
M |x − x 0 | +
f
(x 0 )
M (b − a) +
f
(x 0 )
,
ce qui signifie que f est bornée. Il s’ensuit (comme dans la solution du problème précédent) que f est uniformément continue sur ]a , b[.
II.2.21. On considère la fonction x → Arctan f (x). D’après le théorème des
accroissements finis, pour a < x 1 < x 2 < b et x 2 − x 1 > π, on a
|Arctan f (x 2 ) − Arctan f (x 1 )| =
|f (x 0 )|
1 + f 2 (x 0 )
(x 2 − x 1 ) .
Donc,
π
|f (x 0 )|
1 + f 2 (x 0 )
(x 2 − x 1 )
et
|f (x 0 )|
1 + f 2 (x 0 )
π
x 2 − x 1
< 1.
II.2.22. On a
Arctan f (x 2 ) − Arctan f (x 1 ) =
f (x 0 )
1 + f 2 (x 0 )
(x 2 − x 1 )
pour a < x 1 < x 2 < b. D’après (ii),
Arctan f (x 2 ) − Arctan f (x 1 ) −(x 2 − x 1 ).
En faisant tendre x 2 vers b − et x 1 vers a + et en utilisant (i), on voit que
−π −(b − a).
II.2.23. D’après le théorème des accroissements finis,
f
− (b) = lim
h→0 −
f (b + h) − f (b)
h
= lim
h→0 −
f
(b + θh) = A.
II.2.24. Puisque f (x) = O(x), il existe M > 0 et x 0 ∈ R ∗
+ tels que
|f (x)| Mx pour x x 0 . D’après le théorème des accroissements finis,
|f (x) − f (x 0 )| =
f
(x 0 + θ(x − x 0 ))
(x − x 0 )
M (x 0 + θ(x − x 0 ))(x − x 0 ) Mx(x − x 0 ) Mx
2
pour x x 0 .
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