Solutions
pour k = 0, 1, 2, 3, . . . , 2 n et n ∈ N ∗ . Pour t ∈ [0 , 1], on peut trouver une suite
kn
2 n
convergente vers t. Puisque toute suite convergente est aussi convergente au sens de Cesàro (vers la même limite), la suite de terme général
x n = x +
kn
2 n (y − x) converge au sens de Cesàro. D’après (∗), la suite {f (x n )}
converge vers f (x) + t(f (y) − f (x)). En conséquence,
f (x + t(y − x)) = f (x) + t(f (y) − f (x)).
La fonction f est alors continue sur R d’après I.2.33. Combiné à I.6.10, ceci
montre que f (x) = ax + c.
I.6.21. La fonction f est injective et f (2x − f (x)) = x donc on obtient
f −1 (x) = 2x − f (x). Ainsi,
f (x) − x = x − f
−1 (x).
(∗)
Pour x 0 ∈ [0 , 1], on définit la suite récurrente {x n } par x n = f (x n−1 ). L’égalité (∗) implique x n − x n−1 = x n−1 − x n−2 . On a donc x n = x 0 + n(x 1 − x 0 ).
Puisque |x n − x 0 | 1, on a |x 1 − x 0 |
1
n pour n ∈ N ∗ . En conséquence,
f (x 0 ) = x 1 = x 0 .
I.6.22. On montre que les seules solutions continues de l’équation donnée
sont les fonctions f (x) = m(x − c). Si g(x) = 2x −
f (x)
m , alors g est continue et
g(g(x)) = 2g(x) − x pour x ∈ R.
(i)
La fonction g est donc injective : si g(x 1 ) = g(x 2 ), alors g(g(x 1 )) = g(g(x 2 )),
ce qui donne x 1 = x 2 . D’après le résultat de I.3.16, g est soit strictement
croissante, soit strictement décroissante sur R. On montre que l’on se trouve
ici dans le premier cas. D’après (i),
g(g(x)) − g(x) = g(x) − x pour x ∈ R.
(ii)
Si g est strictement décroissante, on a alors g(x 1 ) > g(x 2 ) pour x 1 < x 2 et, en
conséquence, g(g(x 1 )) < g(g(x 2 )). D’autre part, (ii) donne
g(g(x 1 )) − g(x 1 ) = g(x 1 ) − x 1 , g(g(x 2 )) − g(x 2 ) = g(x 2 ) − x 2 ,
contradiction.
Par récurrence, l’égalité (i) implique
g
n (x) = ng(x) − (n − 1)x pour n 1,
où g n représente la n-ième itération de g. Donc, lim
n→+∞
g n (x)
n
= g(x) − x. De
plus,
g
n (x) − g
n (0) = n(g(x) − x − g(0)) + x.
(iii)
109
pour k = 0, 1, 2, 3, . . . , 2 n et n ∈ N ∗ . Pour t ∈ [0 , 1], on peut trouver une suite
kn
2 n
convergente vers t. Puisque toute suite convergente est aussi convergente au sens de Cesàro (vers la même limite), la suite de terme général
x n = x +
kn
2 n (y − x) converge au sens de Cesàro. D’après (∗), la suite {f (x n )}
converge vers f (x) + t(f (y) − f (x)). En conséquence,
f (x + t(y − x)) = f (x) + t(f (y) − f (x)).
La fonction f est alors continue sur R d’après I.2.33. Combiné à I.6.10, ceci
montre que f (x) = ax + c.
I.6.21. La fonction f est injective et f (2x − f (x)) = x donc on obtient
f −1 (x) = 2x − f (x). Ainsi,
f (x) − x = x − f
−1 (x).
(∗)
Pour x 0 ∈ [0 , 1], on définit la suite récurrente {x n } par x n = f (x n−1 ). L’égalité (∗) implique x n − x n−1 = x n−1 − x n−2 . On a donc x n = x 0 + n(x 1 − x 0 ).
Puisque |x n − x 0 | 1, on a |x 1 − x 0 |
1
n pour n ∈ N ∗ . En conséquence,
f (x 0 ) = x 1 = x 0 .
I.6.22. On montre que les seules solutions continues de l’équation donnée
sont les fonctions f (x) = m(x − c). Si g(x) = 2x −
f (x)
m , alors g est continue et
g(g(x)) = 2g(x) − x pour x ∈ R.
(i)
La fonction g est donc injective : si g(x 1 ) = g(x 2 ), alors g(g(x 1 )) = g(g(x 2 )),
ce qui donne x 1 = x 2 . D’après le résultat de I.3.16, g est soit strictement
croissante, soit strictement décroissante sur R. On montre que l’on se trouve
ici dans le premier cas. D’après (i),
g(g(x)) − g(x) = g(x) − x pour x ∈ R.
(ii)
Si g est strictement décroissante, on a alors g(x 1 ) > g(x 2 ) pour x 1 < x 2 et, en
conséquence, g(g(x 1 )) < g(g(x 2 )). D’autre part, (ii) donne
g(g(x 1 )) − g(x 1 ) = g(x 1 ) − x 1 , g(g(x 2 )) − g(x 2 ) = g(x 2 ) − x 2 ,
contradiction.
Par récurrence, l’égalité (i) implique
g
n (x) = ng(x) − (n − 1)x pour n 1,
où g n représente la n-ième itération de g. Donc, lim
n→+∞
g n (x)
n
= g(x) − x. De
plus,
g
n (x) − g
n (0) = n(g(x) − x − g(0)) + x.
(iii)
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