Chapitre I. Limites et continuité
I.6.8. On a f (0) = 0 et
f (x) = −f
2
3
x
+ x = f
2
3
2
x
−
2
3
x + x.
On montre par récurrence que, pour n ∈ N ∗ , on a
f (x) = (−1)
n f
2
3
n
x
+ (−1)
n−1
2
3
n−1
x + . . . −
2
3
x + x.
En passant à la limite lorsque n tend vers +∞ et en utilisant la continuité de
f en 0, on obtient f (x) =
3
5 x.
I.6.9. Si on pose y = 2x dans l’équation, on obtient
f (y) =
1
2
f
1
2
y
+
1
2 2 y =
1
2 2 f
1
2 2 y
+
1
2 4 y +
1
2 2 y.
On montre par récurrence que
f (y) =
1
2 n f
1
2 n y
+
1
2 2n y +
1
2 2(n−1) y + . . . +
1
2 2 y.
En passant à la limite lorsque n tend vers +∞ et en utilisant le fait que
f (0) = 0 et la continuité de f en 0, on conclut que f (y) =
1
3 y.
I.6.10. On pose f (0) = c. En prenant y = 0 dans l’équation de Jensen, on
obtient
f
x
2
=
f (x) + f (0)
2
=
f (x) + c
2
.
Donc,
f (x) + f (y)
2
= f
x + y
2
=
f (x + y) + c
2
ce qui donne f (x) + f (y) = f (x + y) + c. On pose g(x) = f (x) − c. La fonction g vérifie alors l’équation de Cauchy (voir I.6.1), d’où g(x) = ax ou, dit
autrement, f (x) = ax + c.
I.6.11. On montre d’abord que f est affine sur tout sous-intervalle fermé
[α , β] de ]a , b[. L’équation de Jensen donne
f
α +
1
2
(β − α)
= f (α) +
1
2
(f (β) − f (α)) .
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