Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
et la première proposition se déduit du problème précédent. La seconde proposition est alors une conséquence immédiate de la formule (voir II.5.12)
π − x
2
=
+∞
n=1
sin nx
n
(0 < x < 2π).
On notera ici, d’après II.5.4, que si f est à variation bornée sur [−π , π], les
sommes partielles de la série de Fourier de f sont alors uniformément bornées.
II.5.43. On peut supposer que 0 < x < π. On pose m =
π
x
et on écrit
n
k=1
c k sin kx =
m
k=1
c k sin kx +
n
k=m+1
c k sin kx,
une somme vide étant considérée comme nulle. On a alors
0
m
k=1
c k sin kx
m
k=1
A
k
sin kx
m
k=1
A
k
kx = mAx Aπ.
Pour majorer la seconde somme, on utilise la formule de sommation par parties
suivante (3) :
n
k=m+1
c k sin kx =
n−1
k=m+1
(c k − c k+1 )(S k (x) − S m (x)) + c n (S n (x) − S m (x)),
où
S k (x) =
k
j=1
sin jx =
sin
nπ
2 sin
(n+1)x
2
sin
x
2
.
On note que
|S k (x) − S m (x)| =
sin
kx
2 sin
(k+1)x
2
− sin
mx
2 sin
(m+1)x
2
sin
x
2
=
cos
(2k+1)x
4
− cos
(2m+1)x
4
2 sin
x
2
1
sin
x
2
.
Donc,
n
k=m+1
c k sin kx
n
k=m+1
(c k − c k+1 )
1
sin
x
2
+ c n
1
sin
x
2
=
c m+1
sin
x
2
A
(m + 1) sin
x
2
< A.
(3) Transformation d’Abel . (N.d.T.)
338