Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
aussi
f (0) =
1 + e 2aπ
2
=
e 2aπ − 1
π
1
2a
+
+∞
n=1
a
a 2 + n 2
,
g(0) = 1 =
e aπ − 1
aπ
+
2
π
+∞
n=1
((−1)
n e
aπ
− 1)
a
a 2 + n 2 .
II.5.17. On obtient, en utilisant la première égalité de II.5.16,
π
e 2πa − 1
e
ax +
π
e −2πa − 1
e
−ax = −2
+∞
n=1
n sin nx
a 2 + n 2 , 0 < x < 2π.
Ceci peut se réécrire sous la forme
π
2
·
sh a(π − x)
sh πa
=
+∞
n=1
n sin nx
a 2 + n 2 , 0 < x < 2π.
De même,
π
e 2πa − 1
e
ax
−
π
e −2πa − 1
e
−ax =
1
a
+ 2
+∞
n=1
a cos nx
a 2 + n 2 0 < x < 2π,
ou, de façon équivalente,
π
2
·
ch a(π − x)
sh πa
−
1
2a
=
+∞
n=1
a cos nx
a 2 + n 2 , 0 < x < 2π.
II.5.18. On prolonge la fonction f (x) = x 2 , −π x π, à R de sorte
que f soit 2π-périodique. Une telle fonction vérifie le test de Dirichlet-Jordan
(voir II.5.10) pour tout x ∈ R et on arrive facilement à
x
2 =
π 2
3
+ 4
+∞
n=1
(−1)
n cos nx
n 2 , −π x π.
On obtient les autres égalités en prenant x = 0 et x = π.
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