Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.5.11. On considère la fonction définie par
f (x) =
⎧
⎨
⎩
1
ln
|x|
2π
si x ∈ [−π , π] \ {0},
0
si x = 0.
La fonction f est à variation bornée sur [−π , π] mais ne vérifie aucune condition de Lipschitz (voir I.2.13). D’autre part, la fonction
g(x) =
x cos
x
2π
si x ∈ [−π , π] \ {0},
0
si x = 0
vérifie une condition de Lipschitz en 0, autrement dit |g(x) − g(0)| |x|, mais
n’est à variation bornée sur aucun voisinage de 0 (voir I.2.5).
II.5.12. On pose f (x) =
π−x
2
pour x ∈ ]0 , 2π[, f (0) = 0 et on prolonge
cette fonction à R en une fonction périodique de période 2π. D’après le test
de Dirichlet-Jordan (voir II.5.10), la série de Fourier de f converge vers f .
Puisque
a n =
1
π
2π
0
π − x
2
cos nx dx = 0 pour n ∈ N
et
b n =
1
π
2π
0
π − x
2
sin nx dx =
1
n
pour n ∈ N
∗ ,
on obtient
π − x
2
=
+∞
n=1
sin nx
n
, 0 < x < 2π.
On voit, en remplaçant x par 2x, que
π − 2x
4
=
+∞
n=1
sin 2nx
2n
, 0 < x < π.
Donc,
π
4
=
+∞
n=1
sin(2n − 1)x
2n − 1
, 0 < x < π.
Si on prend maintenant successivement x =
π
2 et x =
π
3 , on obtient les deux
dernières égalités.
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