Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.5.9. Notre but est de montrer que lim
n→+∞
s n (x 0 ) = f (x 0 ), où {s n (x 0 )} est
la suite des sommes partielles de la série de Fourier de f en x 0 . En appliquant
à f (x) ≡ 1 la formule obtenue au problème précédent pour s n (x), on obtient
1 =
2
π
π
0
sin
n +
1
2
t
2 sin
1
2 t
dt.
D’où,
s n (x 0 ) − f (x 0 ) =
1
π
π
0
(f (x 0 + t) + f (x 0 − t) − 2f (x 0 ))
sin
n +
1
2
t
2 sin
1
2 t
dt.
En posant ϕ(t) = f (x 0 + t) + f (x 0 − t) − 2f (x 0 ), on a |ϕ(t)| 2L |t|
α pour
|t| < δ. On remarque alors que
ϕ(t)
t est intégrable sur [0 , π]. En effet,
δ
0
|ϕ(t)|
t
dt
δ
0
2Lt
α−1 dt < +∞.
La fonction
|ϕ(t)|
sin
1
2 t
=
|ϕ(t)|
t
·
t
sin
1
2 t
est donc aussi intégrable sur [0 , π]. Il découle de la solution de II.5.2 que
lim
n→+∞
(s n (x 0 ) − f (x 0 )) = lim
n→+∞
1
π
π
0
ϕ(t)
sin
n +
1
2
t
2 sin
1
2 t
dt = 0.
II.5.10. On prouve d’abord le lemme suivant.
Lemme. Si g est croissante sur [0 , a], alors
lim
n→+∞
a
0
g(x)
sin nx
x
dx =
π
2
g(0
+ ).
On a
a
0
g(x)
sin nx
x
dx = g(0
+ )
a
0
sin nx
x
dx +
a
0
g(x) − g(0
+ )
sin nx
x
dx.
En faisant le changement de variable nx = t et en utilisant le résultat de I.5.33,
on obtient
g(0
+ )
a
0
sin nx
x
dx = g(0
+ )
na
0
sin t
t
dt − −−−− →
n→+∞
g(0
+ )
π
2
.
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