Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.6.31. La fonction ϕ(t) = −
√
1 − t 2 est continue et convexe sur [−1 , 1]. On
peut donc appliquer l’inégalité donnée en I.6.29.
I.6.32. On remarque d’abord que l’inégalité de Cauchy-Schwarz (voir I.6.1)
reste vraie si on remplace les intégrales de Riemann par des intégrales de
Riemann-Stieltjes par rapport à une fonction α monotone, autrement dit :
b
a
f (x)g(x) dα(x)
2
b
a
f
2 (x) dα(x)
b
a
g
2 (x) dα(x).
On obtient, en intégrant par parties et en utilisant cette inégalité,
(a + b + 1)
1
0
x
a+b f (x) dx
2
=
f (1) −
1
0
x
a+b+1 df (x)
2
= f
2 (1) − 2f (1)
1
0
x
a+b+1 df (x)
+
1
0
x
a+b+1 df (x)
2
f
2 (1) − 2f (1)
1
0
x
a+b+1 df (x)
+
1
0
x
2a+1 df (x)
1
0
x
2b+1 df (x).
Puisque
1
0
x
k df (x) = f (1) − k
1
0
x
k−1 f (x) dx,
on obtient
(a + b + 1)
1
0
x
a+b f (x) dx
2
(2a + 1)
1
0
x
2a f (x)dx × (2b + 1)
1
0
x
2b f (x) dx
+ f (1)
2(a + b + 1)
1
0
x
a+b f (x) dx
−(2a + 1)
1
0
x
2a f (x) dx − (2b + 1)
1
0
x
2b f (x) dx
.
Pour voir que
1
0
f (x)
2(a + b + 1)x
a+b
− (2a + 1)x
2a
− (2b + 1)x
2b
dx 0,
180