Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
Donc,
4
(b − a) 2
b
a
|f (x)| dx
4
(b − a) 2
(a+b)/2
a
M (x − a) dx +
4
(b − a) 2
b
(a+b)/2
M (b − x) dx
=
4
(b − a) 2
(b − a) 2
8
M +
(b − a) 2
8
M
= M.
I.6.26. Nous allons appliquer l’inégalité
x
α 1
1 x
α 2
2 . . . x
αn
n α 1 x 1 + α 2 x 2 + · · · + α n x n
pour x i , α i > 0 (i = 1, 2, . . . , n) tels que
n
i=1
α i = 1 (voir, par
exemple, II.4.13(b) (vol. II)). En supposant qu’aucune des fonctions ne s’annule, on pose
x i =
f i (x)
b
a f i (x) dx
(i = 1, 2, . . . , n)
et on obtient
b
a
n
i=1
f
α i
i (x) dx
n
i=1
b
a f i (x) dx
α i
=
b
a
n
i=1
f i (x)
b
a f i (x) dx
α i
dx
b
a
n
i=1
α i f i (x)
b
a f i (x) dx
dx = 1.
On remarque que la fonction x →
n
i=1
f
α i
i (x) est Riemann-intégrable sur [a , b]
car chacune des fonctions f
α i
i (i = 1, 2, . . . , n) est Riemann-intégrable (voir,
par exemple, le théorème 6.11 dans [29]).
I.6.27.
(a) Il suffit d’appliquer l’inégalité de Hölder en prenant f 1 = f p et f 2 = g q .
(b) On suppose d’abord que 0 < p < 1 et on pose r =
1
p > 1,
1
r +
1
s = 1 et
v =
1
g p ,
u=
f p
v
.
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