Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.5.72.
(a) On montre d’abord que la fonction
F (x) =
√
xΓ
x +
1
2
Γ(x + 1)
est croissante pour x > 1. Pour ce faire, on observe que
(ln F (x))
=
1
2x
+
Γ
x +
1
2
Γ
x +
1
2
−
Γ (x + 1)
Γ(x + 1)
.
D’après le problème précédent,
Γ (x + 1)
Γ(x + 1)
−
Γ
x +
1
2
Γ
x +
1
2
=
+∞
0
1
(1 + t) x+1
√
1 + t − 1
t
dt
=
+∞
0
1
(1 + t) x+1
1
√
1 + t + 1
dt
<
1
2
+∞
0
1
(1 + t) x+1 dt
=
1
2x
,
ce qui montre que (ln F (x)) > 0. En conséquence, F est croissante sur
]1 , +∞[. Donc, lim
x→+∞
F (x) = lim
n→+∞
F (n). On va utiliser la formule de
duplication et la formule de Stirling données respectivement en I.5.68
et I.5.70 pour trouver cette limite. On a
lim
n→+∞
F (n) = lim
n→+∞
√ nΓ
n +
1
2
Γ(n + 1)
= lim
n→+∞
√ nΓ(2n)
√ π
Γ(n)Γ(n + 1)2 2n−1
= lim
n→+∞
√ nπ(2n − 1)!
(n − 1)!n!2 2n−1
= lim
n→+∞
β n
√
n(2n − 1) 2n−1/2 e −(2n−1)
√
2n(2n − 2) 2n−1 e −(2n−2)
= 1,
où {β n } est une suite qui converge vers 1.
(b) Observons d’abord que si a = 1, d’après I.5.65,
x
a B(a, x) = xB(1, x) =
xΓ(1)Γ(x)
Γ(1 + x)
= 1
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