Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
En conséquence,
n
k=1
(a k − b k ) = n + ln n! +
1
2
ln
1
2
−
n +
1
2
ln
n +
1
2
= B n .
(2)
On montre alors que la série
+∞
k=1
(a k − b k ) converge. Puisque
a k =
1/2
0
ln
1
1 −
t
k
dt et b k =
1/2
0
ln
1 +
t
k
dt,
(3)
on voit que a k > b k > a k+1 > 0. De plus, lim
k→+∞
a k = lim
k→+∞
b k = 0. Donc la
série
a 1 − b 1 + a 2 − b 2 + · · · + a n − b n + · · ·
converge d’après la règle de Leibniz. Ceci signifie que lim
n→+∞
B n existe et est
égale à la somme de la série
+∞
k=1
(a k − b k ). Il découle de (3) que
a k − b k = −
1/2
0
ln
1 −
t 2
k 2
dt.
D’où,
+∞
k=1
(a k − b k ) = −
1/2
0
+∞
k=1
ln
1 −
t 2
k 2
dt,
car la série dans le second membre converge uniformément sur
0 ,
1
2
. Donc,
+∞
k=1
(a k − b k ) = −
1/2
0
ln
+∞
k=1
1 −
t 2
k 2
dt
= −
1/2
0
ln
sin πt
πt
dt,
la dernière égalité se déduisant, par exemple, de III.8.37 (vol. I). En utilisant
le résultat de I.5.1(b), on obtient
−
1/2
0
ln
sin πt
πt
dt =
1
2
(ln π − 1) .
D’après (1) et (2),
lim
n→+∞
(A n − B n ) = lim
n→+∞
n +
1
2
ln
1 +
1
2n
+
1
2
ln 2 =
1
2
(1 + ln 2) .
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