Solutions
(b) Comme en (a), on a
1 +
+∞
n=1
(−1)
n
1
8n + 1
−
1
8n − 1
= 1 +
+∞
n=1
(−1)
n
1
0
x
8n
− x
8n−2
dx
= 1 +
1
0
+∞
n=1
(−1)
n
x
8n
− x
8n−2
dx
= 1 −
1
0
x 6
(1 + x 2 ) (1 + x 4 )
dx
=
π
4
×
1 +
√
2
2
.
I.5.61.
(a) D’après le résultat de I.5.1(c) en prenant α = 2k et n = 2, on obtient
+∞
k=0
1
(2k + 1)(2k + 2)(2k + 3)
=
1
2!
+∞
k=0
1
0
x
2 (1 − x)
2k dx
=
1
2
1
0
x
2
+∞
k=0
(1 − x)
2k dx
=
1
2
1
0
x
2 − x
dx = ln 2 −
1
2
.
(b) De même,
+∞
n=1
1
2n(2n + 1)(2n + 2)
=
3
4
− ln 2.
I.5.62. Pour x ∈ ]0 , 1],
x
−x = e
−x ln x = 1 +
+∞
n=1
(−1)
n x n ln
n x
n!
.
La série converge uniformément sur ]0 , 1] car sup {|x ln x| : x ∈ ]0 , 1]} =
1
e et
la série
+∞
n=1
(1/e)
n
n!
converge. Donc,
1
0
x
−x dx = 1 +
+∞
n=1
(−1) n
n!
1
0
x
n ln
n x dx = 1 +
+∞
n=1
1
(n + 1) n+1 ,
la dernière égalité provenant de I.5.1(f ).
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