Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
De plus, on a |f (t) − f (a n )| < 1 pour t ∈
a n −
δ
2 , a n
. Donc,
an
an−
δ
2
f (t) dt
(|f (a n )| − 1)
δ
2
(n − 1)
δ
2
et
an
a
f (t) dt
(n − 1)
δ
2
− M.
Contradiction.
I.5.21. Une intégration par parties donne
x
a
f (t)f
(t) dt = f (x)f
(x) − f (a)f
(a) −
x
a
f
(t)
2 dt.
(1)
D’après l’inégalité (f (x)) 2 + (f (x)) 2 2 |f (x)f (x)| et les hypothèses,
l’intégrale
+∞
a
f (t)f (t) dt converge. Clairement, lorsque x tend vers +∞,
x
a (f (t))
2 dt soit converge, soit diverge vers +∞. Dans le second cas,
d’après (1), lim
x→+∞
f (x)f (x) = +∞ et, puisque
f
2 (x) − f
2 (a) =
1
2
x
a
f (t)f
(t) dt,
on voit que lim
x→+∞
f 2 (x) = +∞, ce qui contredit la convergence de
+∞
a
f 2 (x)dx. On a donc prouvé la convergence de
+∞
a
(f (x))
2 dx.
I.5.22. On déduit du théorème de Cauchy (voir I.5.10) que l’intégrale impropre
+∞
a
f (x)g(x) dx converge si et seulement si, étant donné ε > 0, il existe
a 0 > a tel que pour a 2 > a 1 > a 0 ,
a 2
a 1
f (x)g(x) dx
< ε.
D’après la seconde formule de la moyenne (voir I.3.16),
a 2
a 1
f (x)g(x) dx = g(a 1 )
c
a 1
f (x) dx + g(a 2 )
a 2
c
f (x) dx
pour un certain c ∈ [a 1 , a 2 ]. Puisque g est bornée, il existe C > 0 tel que
|g(x)| C pour x ∈ [a , +∞[. D’après (1), l’intégrale impropre
+∞
a
f (x) dx
existe et le théorème de Cauchy implique qu’il existe a 0 > a tel que
c
a 1
f (x) dx
<
ε
2C
et
a 2
c
f (x) dx
<
ε
2C
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