Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
On suppose que l’égalité est vérifiée au rang n et on intègre par parties
pour obtenir
1
0
x
n+1 (1 − x)
α dx =
1
0
x
n+1
−(1 − x) α+1
α + 1
dx
=
n + 1
α + 1
1
0
x
n (1 − x)
α+1 dx
=
(n + 1)!
(α + 1)(α + 2) . . . (α + n + 1)(α + n + 2)
.
(d) Une intégration par parties donne
I n =
1
0
(− ln x)
n dx = n
1
0
(− ln x)
n−1 dx = nI n−1 .
Puisque que I 1 = 1, on en déduit que I n = n!.
(e) Le changement de variable t = 1 −
x
n donne
n
0
1 −
1 −
x
n
n
x
dx =
1
0
1 − t n
1 − t
dt
=
1
0
1 + t + t
2 + · · · + t
n−1
dt
= 1 +
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
n
.
(f) On obtient, en intégrant n fois par parties,
1
0
x
n ln
n x dx = −
n
n + 1
1
0
x
n ln
n−1 x dx
=
n(n − 1)
(n + 1) 2
1
0
x
n ln
n−2 x dx
= · · · = (−1)
n
n!
(n + 1) n+1 .
(g) Si n = 1, alors
+∞
0
dx
(1+x 2 )
n =
π
2 . Si n > 1, le changement de variable
x = tan t donne
+∞
0
dx
(1 + x 2 )
n =
π/2
0
cos
2n t cos
−2 t dt =
π/2
0
cos
2n−2 t dt
=
1 × 3 × . . . × (2n − 3)
2 × 4 × . . . × (2n − 2)
×
π
2
,
la dernière égalité provenant de I.4.1(b).
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