Notations et terminologie
• On note f n →
A
f pour {f n } converge uniformément vers f sur A.
Si (X, d) est un espace métrique, x ∈ X et A un sous-ensemble non vide
de X, alors
• A c = X \ A est le complémentaire de A dans X,
• B X (x, r), B X (x, r) représentent respectivement la boule ouverte et la boule
fermée de centre x et de rayon r ; si X est fixé, on omet l’indice et on écrit
simplement B(x, r), B(x, r),
•
◦
A est l’intérieur de A dans l’espace métrique (X, d),
• A est l’adhérence de A dans l’espace métrique,
• ∂A = A ∩ X \ A est la frontière de A,
• diam(A) = sup {d(x, y) : x, y ∈ A} est le diamètre de l’ensemble A,
• dist(x, A) = inf {d(x, y) : y ∈ A} est la distance de x à l’ensemble A,
• A est un ensemble de type F σ si c’est une union dénombrable d’ensembles
fermés dans (X, d),
• A est un ensemble de type G δ si c’est une intersection dénombrable d’ensembles ouverts dans (X, d),
• X est connexe s’il n’existe pas de sous-ensembles ouverts disjoints B et C
de X tels que X = B ∪ C.
Continuité, dérivabilité.
• C A est l’ensemble des fonctions continues sur A.
• C n
]a,b[ est l’ensemble des fonctions n fois continûment dérivables sur ]a, b[.
• C 1
[a,b] est l’ensemble des fonctions continûment dérivables sur [a, b], en considérant aux extrémités respectivement la dérivée à droite et la dérivée à
gauche. L’ensemble C n
[a,b] des fonctions n fois continûment dérivables sur
[a, b] est défini récursivement.
• C ∞
]a,b[ (resp. C ∞
[a,b] ) est l’ensemble des fonctions infiniment dérivables sur ]a, b[
(resp. [a, b]).
Si f et g sont des fonctions réelles d’une variable réelle, alors
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