Solutions
D’où,
0
b
a
f n (x) dx −
b
a
h n (x) dx
n
i=1
b
a
(f i (x) − g i (x)) dx
n
i=1
ε
2 i = ε
1 −
1
2 n
.
(2)
Puisque {h n } est une suite de fonctions continues sur [a , b] décroissant vers 0,
d’après le théorème de Dini (voir, par exemple, III.1.16 (vol. II)), elle
converge uniformément vers 0 sur [a, b]. Ceci, combiné avec (2), implique le
résultat cherché.
I.3.24. [W.A.J. Luxembourg, Amer. Math. Monthly, 78(1971), 970-979]. La démonstration se mène comme dans le problème précédent, les intégrales
b
a f dx
et
b
a f n dx devant être remplacées respectivement par
b
a f dx et
b
a f n dx, excepté le fait que l’intégrale de Riemann inférieure n’est pas sous-additive
(comme observé dans la publication citée). L’inégalité
0
b
a
f n (x) dx
b
a
h n (x) dx + ε
1 −
1
2 n
doit donc être prouvée autrement. Pour cela, on remarque que pour chaque
i = 1, 2, . . . , n,
0 g n = g i + (g n − g i ) g i + (max {g i , . . . , g n } − g i )
g i +
n−1
i=1
(max {g i , . . . , g n } − g i ).
D’où
0 g n h n +
n−1
i=1
(max {g i , . . . , g n } − g i ).
De plus, en utilisant
max {g i , . . . , g n } max {f i , . . . , f n } = f i
on obtient
b
a
f i (x) dx
b
a
(max {g i , . . . , g n } − g i (x)) dx +
b
a
g i (x) dx
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