Solutions
a = x 0 < x 1 < · · · < x m = b, x 0 , x 1 , . . . , x m ∈ A, telle que |f (t) − f (s)| <
ε
2M
si t, s ∈ [x k−1 , x k ], k = 1, 2, . . . , m. Donc,
b
a
f (x) dβ n (x) −
m
k=1
f (t k ) (β n (x k ) − β n (x k−1 ))
ε
2M
V (β n ; a, b)
ε
2
.
Puisque lim
n→+∞
β n (x k ) = 0 (k = 0, 1, . . . , m) on a, à partir d’une certaine valeur
de l’indice n,
m
k=1
f (t k ) (β n (x k ) − β n (x k−1 ))
ε
2
.
Ceci donne
b
a
f (x) dβ n (x)
ε.
I.3.16. La formule d’intégration par parties (théorème 1) et la première
formule de la moyenne (voir I.1.26) impliquent
b
a
f (x) dα(x) = f (b)α(b) − f (a)α(a) −
b
a
α(x) df (x)
= f (b)α(b) − f (a)α(a) − α(c)(f (b) − f (a)).
I.3.17.
(a) On pose m = min {α(x) : x ∈ [a , b]} et M = max {α(x) : x ∈ [a , b]}. En
utilisant la formule d’intégration par parties, on obtient
b
a
f (x) dα(x) = f (b)α(b) − f (a)α(a) −
b
a
α(x) df (x)
f (b)α(b) − f (a)α(a) − m(f (b) − f (a))
= (f (b) − f (a))(α(b) − m) + f (a)(α(b) − α(a))
(f (b) − f (a))(α(b) − m) + f (a)(α(b) − m)
= f (b)(α(b) − m).
De même,
b
a
f (x) dα(x) f (b)(α(b) − M ).
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