Solutions
I.3.12. D’après les hypothèses, on a
m
k=1
|α n (x k ) − α n (x k−1 )| M.
pour toute partition a = x 0 < x 1 < · · · < x m = b. En faisant tendre n vers
+∞, on voit que
m
k=1
|α(x k ) − α(x k−1 )| M,
ce qui signifie que α est à variation bornée sur [a , b]. De plus, on a
b
a
f (x) dα n (x) −
b
a
f (x) dα(x)
m
k=1
x k
x k−1
(f (x) − f (x k )) dα(x)
+
m
k=1
|f (x k )| |α(x k ) − α(x k−1 ) − α n (x k ) + α n (x k−1 )|
+
m
k=1
x k
x k−1
(f (x k ) − f (x)) dα n (x)
.
Maintenant, par continuité de f , étant donné ε > 0, il existe δ > 0 tel que
si le pas de la partition est inférieur à δ, alors |f (x) − f (x k )| <
ε
3M pour
x ∈ [x k−1 , x k ]. Donc, d’après le théorème 3,
m
k=1
x k
x k−1
(f (x) − f (x k )) dα(x)
<
ε
3
et
m
k=1
x k
x k−1
(f (x k ) − f (x)) dα n (x)
<
ε
3
.
De plus, si n est suffisamment grand et la partition fixée, on voit que
m
k=1
|f (x k )| |α(x k ) − α(x k−1 ) − α n (x k ) + α n (x k−1 )| <
ε
3
.
I.3.13. On a
b
a
f n (x) dα n (x) −
b
a
f (x) dα(x)
b
a
f n (x) dα n (x) −
b
a
f (x) dα n (x)
+
b
a
f (x) dα n (x) −
b
a
f (x) dα(x)
.
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