Solutions
Il s’ensuit que α(v) = α(0) +
1
2 pour 0 < v < 1. En conclusion,
α(x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
α(0)
si x = 0,
α(0) +
1
2
si x ∈ ]0 , 1[,
α(0) + 1 si x = 1.
I.3.8. On considère la fonction
α(x) =
α(a) si x ∈ [a , u[,
α(b) si x ∈ ]u , b],
où α(a) < α(b). On a alors
b
a
f (x) dα(x) = f (u)(α(b) − α(a)),
ce qui, combiné avec l’hypothèse, donne f (u) = 1 pour u ∈ ]a , b[. On voit que
f (a) = f (b) = 1 car f est continue sur [a , b].
I.3.9. Puisque α = p − q, où p et q sont croissantes, il suffit de prouver que
f ∈ R(p) si f n ∈ R(p), n ∈ N ∗ , et
b
a
f (x) dp(x) = lim
n→+∞
b
a
f n (x) dp(x).
La convergence uniforme de {f n } signifie que
sup
x∈[a,b]
|f n (x) − f (x)| = d n − −−−− →
n→+∞
0.
Donc, étant donné ε > 0, il existe n 0 tel que
d n (p(b) − p(a)) <
ε
3
pour n n 0 .
D’après le théorème 1 de la section I.1, il existe une partition P telle que
U (P, f n 0 , p) − L(P, f n 0 , p) <
ε
3
.
De plus, on a
U (P, f, p) U (P, f n 0 , p) +
ε
3
et
L(P, f, p) L(P, f n 0 , p) −
ε
3
.
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