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Courbes de Bézier
Soit P 3 ( t ) = B ( { a 0 , a 1 , a 2 , a 3 } , t )lacourbe de Bézier associée. On sait que la courbe P
3 ( t )est
associée au polygone de contrôle 3 { D a 0 , D a 1 , D a 2 } où D a i = a i +1 − a i ,e td em ême pour le
polygone associé à P
3 qui est 6 { D
2
a 0 , D
2
a 1 } .Donc :
{ D a 0 , D a 1 , D a 2 } = { (0, 1), (2, − 1), (0, 1)} , { D
2
a 0 , D
2
a 1 } = { (2, − 2), ( − 2 , 2)} .
La courbe P
3 est une courbe de degré 1donc son graphe est un segment joignant les 2points
6(2, − 2) = (12, − 12) et 6(− 2 , 2) = ( − 12, 12).
2. Si on veut prolonger P 3 en une courbe Q 2 de polygone de contrôle { b 0 = a 3 , b 1 , b 2 } ,l e
raccord C
1
impose :3D a 2 = 2 D b 0 ,soit3( a 3 − a 2 ) = 2(b 1 − b 0 ). En calculant indépendamment
pour lesabscisses et les ordonnées, on trouve:b 1 = (1, 5 / 2).
3. Si on veut prolonger P 3 àgauche en une courbe R 3 de polygone de contrôle
{ c 0 , c 1 , c 2 , c 3 = a 0 } ,leraccord C
2
impose :3D a 0 = 3 D c 2 et 6 D
2
a 0 = 6 D
2
c 1
soit 3(a 1 − a 0 ) = 3(c 3 − c 2 )et6( a 0 − 2 a 1 + a 3 ) = 6(c 1 − 2 c 2 + c 3 ). En calculant indépendamment
pour les abscisses et les ordonnées, on obtient successivement : c 2 = ( − 1 , − 1), c 1 = (1, − 4).
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
y
Courbes de Bézier et polygones de contrôle
a 0 =c 3
a 1
a
3
=b
0
a
2
b
1
b
2
=c
0
c
1
c 2