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Courbes de Bézier
Ce chapitre proposeune introduction aux nouveaux outils mathématiques créés dans les années
60 pour la CAO(Conception assistée par ordinateur), CFAO (Conception Fabrication...), DAO
(Dessin...). L’objectif mathématique est de définir et de tracer des courbes (ou des surfaces) à
partir d’une forme donnée. Bien entendu ces outils ont progressé et aujourd’hui dans les logiciels,
les polynômes de Bernstein ont été remplacés par d’autresf onctions :B -splines ou fonctions
rationnelles. Les utilisations sont nombreuses en aéronautique, pour l’imagerie médicale...mais
aussipour la fabrication de dessins animés et de jeux vidéo.
Le rappel de cours estremplacé par deux exercices quiintroduisent les notions de polygone de
contrôle puis de courbe de Bézier,sous forme de fonction paramétrique définie par récurrence puis
réécrite sousforme explicite dans la base de Bernstein. Lesdeux exercices suivants permettent
d’aborderdes contraintes de construction :comment «recoller »deux courbes, comment imposer
des formes données. Enfin le dernier permet d’écrire une fonction paramétrique polynômiale dans
la base de Bernsteinetdedéterminer ainsi le polygone de contrôle correspondant.
ÉNONCÉS DES EXERCICES
7.1 Algorithme de de Casteljau
On se place dansl ’espace affine E = R
d
avec d = 2o u d = 3. Ap artir de n +1points b i ,
i = 0 ,...,n de E ,pour t ∈ [0, 1], on construit par récurrence lescourbes paramétrées suivantes :
initialisation : b
0
i ( t ) = b i , pour i = 0 ,...,n
pour r = 1 ,...,n , b
r
i ( t ) = (1 − t ) b
r − 1
i
( t )+tb
r − 1
i +1 ( t ) , pour i = 0 ,...,n − r .
C’est l’algorithme de de Casteljau ;lepolygone { b 0 ,...,b n } s’appelle polygone de contrôle de la
courbe de Bézier b
n
0 ( t )aussi notée b
n
( t )ou B ( b 0 ,..., b n ; t ).
1. Calculer b
n
(0) et b
n
(1).
2. Soit w une transformation affine de E .Montrer que l’image de la courbe de Bézier par w est
encore une courbe de Bézier ;plus précisément, montrer que
w ( B ( b 0 ,...,b n ; t ) ) = B ( w ( b 0 ) ,...,w ( b n ); t ) .
Courbes de Bézier
Ce chapitre proposeune introduction aux nouveaux outils mathématiques créés dans les années
60 pour la CAO(Conception assistée par ordinateur), CFAO (Conception Fabrication...), DAO
(Dessin...). L’objectif mathématique est de définir et de tracer des courbes (ou des surfaces) à
partir d’une forme donnée. Bien entendu ces outils ont progressé et aujourd’hui dans les logiciels,
les polynômes de Bernstein ont été remplacés par d’autresf onctions :B -splines ou fonctions
rationnelles. Les utilisations sont nombreuses en aéronautique, pour l’imagerie médicale...mais
aussipour la fabrication de dessins animés et de jeux vidéo.
Le rappel de cours estremplacé par deux exercices quiintroduisent les notions de polygone de
contrôle puis de courbe de Bézier,sous forme de fonction paramétrique définie par récurrence puis
réécrite sousforme explicite dans la base de Bernstein. Lesdeux exercices suivants permettent
d’aborderdes contraintes de construction :comment «recoller »deux courbes, comment imposer
des formes données. Enfin le dernier permet d’écrire une fonction paramétrique polynômiale dans
la base de Bernsteinetdedéterminer ainsi le polygone de contrôle correspondant.
ÉNONCÉS DES EXERCICES
7.1 Algorithme de de Casteljau
On se place dansl ’espace affine E = R
d
avec d = 2o u d = 3. Ap artir de n +1points b i ,
i = 0 ,...,n de E ,pour t ∈ [0, 1], on construit par récurrence lescourbes paramétrées suivantes :
initialisation : b
0
i ( t ) = b i , pour i = 0 ,...,n
pour r = 1 ,...,n , b
r
i ( t ) = (1 − t ) b
r − 1
i
( t )+tb
r − 1
i +1 ( t ) , pour i = 0 ,...,n − r .
C’est l’algorithme de de Casteljau ;lepolygone { b 0 ,...,b n } s’appelle polygone de contrôle de la
courbe de Bézier b
n
0 ( t )aussi notée b
n
( t )ou B ( b 0 ,..., b n ; t ).
1. Calculer b
n
(0) et b
n
(1).
2. Soit w une transformation affine de E .Montrer que l’image de la courbe de Bézier par w est
encore une courbe de Bézier ;plus précisément, montrer que
w ( B ( b 0 ,...,b n ; t ) ) = B ( w ( b 0 ) ,...,w ( b n ); t ) .