48
4
•
Interpolation polynômiale
qui permettent d’obtenir
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 0 = y a
a 1 = y a +
b − a
3
y
a
a 2 = y b −
b − a
3
y
b
a 3 = y b
(4.6)
2. Le calcul des dérivées secondes donne:
( B
3
0 )
( t ) = 6(1 − t ), ( B
3
1 )
( t ) = 6(− 2+3t ), ( B
3
2 )
( t ) = 6(1 − 3 t ), ( B
3
3 )
( t ) = 6 t
et
d
2
p
dx 2 ( x ) =
1
( b − a ) 2
3
k = 0
a k
d
2
B
3
k
dt 2 ( t ).
3. É tant donnée une subdivision a = x 0 < x 1 <... < x n = b ,sur chaque intervalle [ x i , x i +1 ],
on peut réaliser l’interpolation précédente. Puisque les valeurs de la fonction et de sa dérivée
sont données en chaque x i ,l’interpolant polynômial par morceaux estdeclasse C
1
.L ’unicité de
l’élément de P
1
3 résulte de l’unicité de la construction surchaque intervalle.
4. Condition nécessaire
Nous supposons l’existence de S ∈ P
2
3 réalisant l’interpolation et nous écrivons en chaque x i ,
i = 1 ,...,n − 1lacontinuité de la dérivée seconde de la fonction S i.e S
( x i + ) = S
( x i − ). Nous
notons h = x i +1 − x i et y
i les dérivées en chacun des x i ;elles sont inconnues sauf pour i = 0et
i = n .
Sur l’intervalle [ x i , x i +1 ], S coïncide avec un polynôme de degré 3dutype de celui de la première
question S ( x ) =
3
k = 0
a
i
k B k ( t )avec t =
x − x i
h
et
a
i
0 = y i , a
i
1 = y i +
h
3
y
i , a
i
2 = y i +1 −
h
3
y
i +1 , a
i
3 = y i +1 .Nous en déduisons
S
( x i + ) =
1
h 2
3
k = 0
a
i
k
d
2
B k
dt 2 (0) =
6
h 2
y i +1 − y i −
h
2
( y
i +1 +2y i )
.
De même, surl’intervalle [ x i − 1 , x i ], S ( x ) =
3
k = 0
a
i − 1
k B k ( t )avec t =
x − x i − 1
h
et
a
i − 1
0
= y i − 1 , a
i − 1
1
= y i − 1 +
h
3 y
i − 1 , a
i − 1
2
= y i −
h
3 y
i , a
i − 1
3
= y i ;donc
S
( x i − ) =
1
h 2
3
k = 0
a
i − 1
k
d
2
B k
dt 2 (1) =
6
h 2
y i − 1 + y i −
h
2
( y
i − 1 +2y i )
.