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11
•
Problèmes
(a) Schéma explicite.O nu tilise les formules (11.1) et (11.3) pourl af onction u au point
( x i , t n ). Déterminer alors V ( i , n +1 )e nf onction des V ( j , n ) , j = i − 1 , i , i +1 . É crire
sous formev ectorielle le vecteur V (:, n +1 )e nf onction de V (:, n )e nu tilisant la matrice
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2 − 1
O
− 1
. . .
. . .
. . .
. . . − 1
O
− 12
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ R
N × N
.
(b) Schéma implicite.Onutilise les formules (11.2) et (11.3) pour la fonction u au point ( x i , t n +1 ).
Déterminer une équation liant V ( i − 1 , n +1) , V ( i , n +1) , V ( i +1, n +1)et V ( i , n ) . É crire
sous forme vectorielle la relation entre V (:, n +1)et V (:, n ). Montrer que connaissant V (:, n )
on peut ainsi déterminer V (:, n +1)demanière unique (utiliser les propriétés de A vues au
chapitre 10).
(c) SchémadeCrank-Nicolson.Dans les 2schémas précédents, on atrouvé 2équations du type
V ( i , n +1) = ......Onfait la moyenne des 2formules pour obtenir une nouvelle équation puis
un systèmeliant V (:, n +1)àV (:, n ). É crire cette nouvelle formule et montrer que connaissant
le vecteur V (:, n ), elle permet de déterminer un unique vecteur V (:, n +1) .
3. Ordred es méthodes :o nr eprend les 3s chémas de la question précédente, on note u la
solution exacte que l’on suppose régulière et U ( i , n ) = u ( x i , t n ). Majorer les erreurs commises
dans les 3s chémas en remplaçant la solution V ( i , n )p ar U ( i , n )e nf onction de D t , h et les
maxima desdérivées de u . Ainsi pour le schéma explicite, on évalue l’erreur
U ( i , n +1) − U ( i , n )+
D t
h 2 ( − U ( i − 1 , n )+2U ( i , n ) − U ( i +1, n )) − D tf( x i , t n ) .
Comparer les majorations pour les 3méthodes en supposant que h = 0(D t ) , i.e. les pas de temps
et d’espace sont du même ordre. Nous avons alors évalué l’erreur locale de discrétisation.
Si on résout l’équation sur l’intervalle de temps[0 , T ], ces erreurs s’ajoutent, le nombre de pas est
T / D t = 0(1/ D t ). L’ordre de la méthode est la puissance de D t (ou h )àl’arrivée. Donner l’ordre
des3méthodes.
4. Exemple:on prend f ≡ 0 . En développant u 0 en série de Fourier,onobtient une combinaisondesin p p x et cos p p x . On va prendre u 0 ( x ) = sin p p x .
(a) Montrer que la solution exacte du problème ( P )est u ( x , t ) = sin p p xe
− p
2 p
2 t
.
(b) On rappelle la formule trigonométrique
sin[( i − 1)u ] − 2sin( i u )+sin[(i +1) u ] = − 4sin
2 u
2
sin(i u ) .
En déduire que les solutions approchées des 3schémas sont de la forme
V ( i , n ) = a
n
sin( p p ih)où a est une constante qui dépend du schéma, de h et D t .
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Problèmes
(a) Schéma explicite.O nu tilise les formules (11.1) et (11.3) pourl af onction u au point
( x i , t n ). Déterminer alors V ( i , n +1 )e nf onction des V ( j , n ) , j = i − 1 , i , i +1 . É crire
sous formev ectorielle le vecteur V (:, n +1 )e nf onction de V (:, n )e nu tilisant la matrice
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2 − 1
O
− 1
. . .
. . .
. . .
. . . − 1
O
− 12
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ R
N × N
.
(b) Schéma implicite.Onutilise les formules (11.2) et (11.3) pour la fonction u au point ( x i , t n +1 ).
Déterminer une équation liant V ( i − 1 , n +1) , V ( i , n +1) , V ( i +1, n +1)et V ( i , n ) . É crire
sous forme vectorielle la relation entre V (:, n +1)et V (:, n ). Montrer que connaissant V (:, n )
on peut ainsi déterminer V (:, n +1)demanière unique (utiliser les propriétés de A vues au
chapitre 10).
(c) SchémadeCrank-Nicolson.Dans les 2schémas précédents, on atrouvé 2équations du type
V ( i , n +1) = ......Onfait la moyenne des 2formules pour obtenir une nouvelle équation puis
un systèmeliant V (:, n +1)àV (:, n ). É crire cette nouvelle formule et montrer que connaissant
le vecteur V (:, n ), elle permet de déterminer un unique vecteur V (:, n +1) .
3. Ordred es méthodes :o nr eprend les 3s chémas de la question précédente, on note u la
solution exacte que l’on suppose régulière et U ( i , n ) = u ( x i , t n ). Majorer les erreurs commises
dans les 3s chémas en remplaçant la solution V ( i , n )p ar U ( i , n )e nf onction de D t , h et les
maxima desdérivées de u . Ainsi pour le schéma explicite, on évalue l’erreur
U ( i , n +1) − U ( i , n )+
D t
h 2 ( − U ( i − 1 , n )+2U ( i , n ) − U ( i +1, n )) − D tf( x i , t n ) .
Comparer les majorations pour les 3méthodes en supposant que h = 0(D t ) , i.e. les pas de temps
et d’espace sont du même ordre. Nous avons alors évalué l’erreur locale de discrétisation.
Si on résout l’équation sur l’intervalle de temps[0 , T ], ces erreurs s’ajoutent, le nombre de pas est
T / D t = 0(1/ D t ). L’ordre de la méthode est la puissance de D t (ou h )àl’arrivée. Donner l’ordre
des3méthodes.
4. Exemple:on prend f ≡ 0 . En développant u 0 en série de Fourier,onobtient une combinaisondesin p p x et cos p p x . On va prendre u 0 ( x ) = sin p p x .
(a) Montrer que la solution exacte du problème ( P )est u ( x , t ) = sin p p xe
− p
2 p
2 t
.
(b) On rappelle la formule trigonométrique
sin[( i − 1)u ] − 2sin( i u )+sin[(i +1) u ] = − 4sin
2 u
2
sin(i u ) .
En déduire que les solutions approchées des 3schémas sont de la forme
V ( i , n ) = a
n
sin( p p ih)où a est une constante qui dépend du schéma, de h et D t .