Énoncés des problèmes
175
3. Plus précisément, montrer que
A h =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
D 1 − Id
− Id D 2 − Id
O
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . − Id
O
− Id D n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
où D i =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
d i 1 − 1
O
− 1
. . .
. . .
. . .
. . . − 1
O
− 1 d in
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ R
N × N
d ij = 4+h
2
c ( ih, jh)
F h ij = h
2
f ( ih, jh)
G h est un vecteur creux correspondant aux points voisins de G où u est connue.
4. Montrerque A h est àdiagonale strictement dominante dès que l’on suppose c > 0 .
5. À l’aide des disques de Gershgorin, montrer que A h est inversible. Il n’est pasinterdit de
revenir à(4.2) du chapitre 4.
On admetque si u ∈C
4
( ¯
V )alors
u − u h ∞ = max
P ∈ V h
| u ( P ) − U h ( P ) | c 1 h
2
M 4
où c 1 est une constante et M 4 = sup
( x , y ) ∈ ¯
V
∂
4
f
∂ x 4
i
.Cette inégalité peut être démontrée en utilisant une
techniquesimilaire àcelle de l’étude d’erreur en dimension 1. Nous montrerons numériquement
que u − U h ∞ = O ( h
2
).
Resteàrésoudre le système en évitant de construire la très grande matrice A h qui comporte
beaucoup de zéros(matrice creuse). Parlaméthode itérative de Gauss-Seidel (cf [ 18]par exemple),
pour résoudre AX = b avec A ∈ R
d × d
, on initialise X
0
.Si X
p
= ( x
p
1 ,...,x
p
d )
T
désigne le vecteur
obtenu àl’étape p ,lepassage de l’étape p à p +1est donné par :
x
p +1
k
=
1
a kk
⎛
⎝ b k −
k − 1
j = 1
a kj x
p +1
j
−
d
j = k +1
a kj x
p
j
⎞
⎠ pour k = 1àd .
Pour résoudre ( P h ), nous utiliserons cette méthode en profitant de la structure très creuse et très
originale de A h .L ev ecteur inconnu U h est un vecteur à N
2
composantes que nous noterons
u h ( i , j ) , i , j = 1 ,...,N .Nous ajoutons
u h (0, j ) = g (0, jh) , u h ( N +1, j ) = g (1, jh)
u h ( i , 0) = g ( ih, 0), u h ( i , N +1) = g ( ih, 1),
si bien que Uh devient un vecteur à(N +2)
2
composantes, mais nous ne l’écrivons pas sous forme
de vecteur.
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit
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3. Plus précisément, montrer que
A h =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
D 1 − Id
− Id D 2 − Id
O
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . − Id
O
− Id D n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
où D i =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
d i 1 − 1
O
− 1
. . .
. . .
. . .
. . . − 1
O
− 1 d in
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ R
N × N
d ij = 4+h
2
c ( ih, jh)
F h ij = h
2
f ( ih, jh)
G h est un vecteur creux correspondant aux points voisins de G où u est connue.
4. Montrerque A h est àdiagonale strictement dominante dès que l’on suppose c > 0 .
5. À l’aide des disques de Gershgorin, montrer que A h est inversible. Il n’est pasinterdit de
revenir à(4.2) du chapitre 4.
On admetque si u ∈C
4
( ¯
V )alors
u − u h ∞ = max
P ∈ V h
| u ( P ) − U h ( P ) | c 1 h
2
M 4
où c 1 est une constante et M 4 = sup
( x , y ) ∈ ¯
V
∂
4
f
∂ x 4
i
.Cette inégalité peut être démontrée en utilisant une
techniquesimilaire àcelle de l’étude d’erreur en dimension 1. Nous montrerons numériquement
que u − U h ∞ = O ( h
2
).
Resteàrésoudre le système en évitant de construire la très grande matrice A h qui comporte
beaucoup de zéros(matrice creuse). Parlaméthode itérative de Gauss-Seidel (cf [ 18]par exemple),
pour résoudre AX = b avec A ∈ R
d × d
, on initialise X
0
.Si X
p
= ( x
p
1 ,...,x
p
d )
T
désigne le vecteur
obtenu àl’étape p ,lepassage de l’étape p à p +1est donné par :
x
p +1
k
=
1
a kk
⎛
⎝ b k −
k − 1
j = 1
a kj x
p +1
j
−
d
j = k +1
a kj x
p
j
⎞
⎠ pour k = 1àd .
Pour résoudre ( P h ), nous utiliserons cette méthode en profitant de la structure très creuse et très
originale de A h .L ev ecteur inconnu U h est un vecteur à N
2
composantes que nous noterons
u h ( i , j ) , i , j = 1 ,...,N .Nous ajoutons
u h (0, j ) = g (0, jh) , u h ( N +1, j ) = g (1, jh)
u h ( i , 0) = g ( ih, 0), u h ( i , N +1) = g ( ih, 1),
si bien que Uh devient un vecteur à(N +2)
2
composantes, mais nous ne l’écrivons pas sous forme
de vecteur.
Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit