11
Problèmes
ÉNONCÉS DES PROBLÈMES
11.1D ifférences finies en dimension 2
Soient V un ouvert connexe de frontière G , f et c deux fonctions définies sur V , g une fonction
définie sur G .Onconsidère le problème suivant :trouver une fonction u définie sur ¯
V vérifiant
( P )
− D u + cu = f sur V
u | G = g
Il s’agit d’un problème physique régi par une loi de diffusion. Deux exemples peuvent nous
amener àceproblème.
Exemple1: On considère une plaque mince et souple s’appuyant sur un contour dont la projection
sur un planhorizontal est G .Cette plaque est soumise àl’action d’une force verticale f ( x ) dx par
élémentdesurface et on cherche la déflexion verticale u .Lafonction c est liée aux caractéristiques
du matériau.
Exemple 2:On cherche un potentiel scalaire c dans un semi-conducteur.Ladensité de charge
supposée connue est r = q ( p − n + c ) , où q est la charge de l’électron, n la concentration
d’électronsdeconduction, p la concentration de trous et c le dopage du semi-conducteur.Ona
alors l’équation de Poisson
− D c = +
1
´ S
q ( p − n + c )où ´ S est la permittivité du semiconducteur.
a) Approximation de D f
Soit P = ( x , y )u np oint de R
2
.P our h i > 0 , i = 1 , 2 , 3 , 4, on définit P 1 = ( x + h 1 , y ),
P 2 = ( x , y + h 2 ), P 3 = ( x − h 3 , y ), P 4 = ( x , y − h 4 ).
P=(x,y)
P 4
P 3
P 2
P 1
Problèmes
ÉNONCÉS DES PROBLÈMES
11.1D ifférences finies en dimension 2
Soient V un ouvert connexe de frontière G , f et c deux fonctions définies sur V , g une fonction
définie sur G .Onconsidère le problème suivant :trouver une fonction u définie sur ¯
V vérifiant
( P )
− D u + cu = f sur V
u | G = g
Il s’agit d’un problème physique régi par une loi de diffusion. Deux exemples peuvent nous
amener àceproblème.
Exemple1: On considère une plaque mince et souple s’appuyant sur un contour dont la projection
sur un planhorizontal est G .Cette plaque est soumise àl’action d’une force verticale f ( x ) dx par
élémentdesurface et on cherche la déflexion verticale u .Lafonction c est liée aux caractéristiques
du matériau.
Exemple 2:On cherche un potentiel scalaire c dans un semi-conducteur.Ladensité de charge
supposée connue est r = q ( p − n + c ) , où q est la charge de l’électron, n la concentration
d’électronsdeconduction, p la concentration de trous et c le dopage du semi-conducteur.Ona
alors l’équation de Poisson
− D c = +
1
´ S
q ( p − n + c )où ´ S est la permittivité du semiconducteur.
a) Approximation de D f
Soit P = ( x , y )u np oint de R
2
.P our h i > 0 , i = 1 , 2 , 3 , 4, on définit P 1 = ( x + h 1 , y ),
P 2 = ( x , y + h 2 ), P 3 = ( x − h 3 , y ), P 4 = ( x , y − h 4 ).
P=(x,y)
P 4
P 3
P 2
P 1