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Matrices
RAPPEL DE COURS
Soit A = ( a ij )une matrice de R
n × n
(ou C
n × n
). A est inversible s’il existe B ∈ R
n × n
(ou C
n × n
)
telle que AB = BA = I ,notation B = A
− 1
.
Le rang de A est le nombre de vecteurs colonnes (oulignes) indépendants ;notation rg( A ). Le
rang est la dimension de la plus grande matrice carrée de déterminant non nul extraite de A.
Le noyau de A est l’ensemble des vecteurs X tels que AX = 0;notation Ker(A ).
Un réel ou un complexe l est une valeur propre de A et V ∈ R
n
(ou C
n
), V non nul, un
vecteur proprea ssocié si AV = l V . Les valeursp ropres de A sont les racines du polynôme
det ( A − XI) = 0. L’ensemble des valeurs propres de A est le spectre de la matrice ;notation
s ( A ).
A ∈ C
n × n
est inversible àl’une des conditions nécessaires et suffisantes suivantes : 0 n’est pas
valeurpropreou det( A ) = 0 ou Ker ( A ) = { 0 } ou rang( A ) = n.
A est diagonalisable dans C s’il existe une matrice inversible P ∈ C
n × n
et une matrice diagonale
D dans C
n × n
telles que P
− 1
AP = D .Dans ce cas les valeurs propres de A sont sur la diagonale
de D ,les vecteurs propres sont les colonnes de P . A peut être diagonalisable dans R si D et P
sont dans R
n × n
. A est diagonalisable si et seulement si il existe une base { u 1 ,...,u n } de vecteurs
propres.
DécompositiondeJordan :Soit A ∈ C
n × n
,ilexiste une matrice P ∈ C
n × n
inversible telle que
P
− 1
AP =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
J k 1 ( l 1 )0...
0
0
J k 2 ( l 2 )
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
...
0 J k ( l )
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,o ù J k ( l ) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
l 10 ... 0
0 l
1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
. . .
. . . l 1
0 ... ... 0 l
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
et les l i
sont les valeurspropres de A.
A est symétrique si A
T
= A ou encore a ij = a ji pour tout i et j de 1 ,...,n .
Si A ∈ R
n × n
est symétrique,alorsses valeurspropres sont réelles, A est diagonalisable dans
R et on peut choisir une base orthonormée de vecteurspropres ;dans ce cas P est unitairei.e.
P
− 1
= P
T
et P
T
AP = D.