10
Différences finies
en dimension1
RAPPEL DE COURS
Les différences finies permettent d’obtenir des approximations des dérivées d’une fonction f .Si
nous prenons trois réels x i − 1 , x i , x i +1 telsque h = x i +1 − x i = x i − x i − 1 > 0, en utilisant des
formules de Taylor,ilexiste u 1 , u 2 dans ]0, 1[ et u 3 , u 4 dans ] − 1 , 1[ tels que :
f
( x i ) =
f ( x i +1 ) − f ( x i )
h
−
h
2
f
( x i + u 1 h )si f ∈C
2
([x i , x i +1 ])
(10.1)
f
( x i ) =
f ( x i ) − f ( x i − 1 )
h
+
h
2
f
( x i − u 2 h )si f ∈C
2
([x i − 1 , x i ])
(10.2)
f
( x i ) =
f ( x i +1 ) − f ( x i − 1 )
2 h
−
h
2
6
f
(3)
( x i + u 3 h )si f ∈C
3
([x i − 1 , x i ])
(10.3)
f
( x i ) =
f ( x i ) − 2 f ( x i )+ f ( x i − 1 )
h 2
−
h
2
12
f
(4)
( x i + u 4 h )si f ∈C
4
([x i − 1 , x i ])
(10.4)
Application : Nous utiliserons ces approximations pour résoudre le problème différentiel
− u
( x )+c ( x ) u ( x ) = f ( x )pour a x b avec conditions aux extrémités : u ( a ) = a , u ( b ) = b
qui admet une solution unique de classe C
2
sur [ a , b ]dès que les fonctions f et c sont continues
avec c 0ainsi que d’autres problèmes différentiels avec conditions de bords.
Le premier exercice reprend l’équation − u
( x )+c ( x ) u ( x ) = f ( x )puis, avec les conditions aux
bords, montrel’existence et l’unicité de la solution dans le cas où c est une fonction constante
strictement positive.Onconstruit pas àpas un problème approché àl’aide de (10.4) et on montre
qu’il admet une solution unique. Enfin, on compare lessolutions des problèmes exact et approché
en étudiant l’erreur.
Dans l’exercice suivant, l’équation différentielle n’est plus linéaire. On verra comment, en rajoutant
uneméthode itérative de résolution d’équation, on peut maintenir une erreur du même ordre que
dans la cas linéaire.
Le schéma de Numerovmontre comment sur le problème initial, on peut améliorer la précision
de la méthode approchée par une variation sur les différences finies. L’étude d’erreur se fait
numériquementpour cet exemple.
Différences finies
en dimension1
RAPPEL DE COURS
Les différences finies permettent d’obtenir des approximations des dérivées d’une fonction f .Si
nous prenons trois réels x i − 1 , x i , x i +1 telsque h = x i +1 − x i = x i − x i − 1 > 0, en utilisant des
formules de Taylor,ilexiste u 1 , u 2 dans ]0, 1[ et u 3 , u 4 dans ] − 1 , 1[ tels que :
f
( x i ) =
f ( x i +1 ) − f ( x i )
h
−
h
2
f
( x i + u 1 h )si f ∈C
2
([x i , x i +1 ])
(10.1)
f
( x i ) =
f ( x i ) − f ( x i − 1 )
h
+
h
2
f
( x i − u 2 h )si f ∈C
2
([x i − 1 , x i ])
(10.2)
f
( x i ) =
f ( x i +1 ) − f ( x i − 1 )
2 h
−
h
2
6
f
(3)
( x i + u 3 h )si f ∈C
3
([x i − 1 , x i ])
(10.3)
f
( x i ) =
f ( x i ) − 2 f ( x i )+ f ( x i − 1 )
h 2
−
h
2
12
f
(4)
( x i + u 4 h )si f ∈C
4
([x i − 1 , x i ])
(10.4)
Application : Nous utiliserons ces approximations pour résoudre le problème différentiel
− u
( x )+c ( x ) u ( x ) = f ( x )pour a x b avec conditions aux extrémités : u ( a ) = a , u ( b ) = b
qui admet une solution unique de classe C
2
sur [ a , b ]dès que les fonctions f et c sont continues
avec c 0ainsi que d’autres problèmes différentiels avec conditions de bords.
Le premier exercice reprend l’équation − u
( x )+c ( x ) u ( x ) = f ( x )puis, avec les conditions aux
bords, montrel’existence et l’unicité de la solution dans le cas où c est une fonction constante
strictement positive.Onconstruit pas àpas un problème approché àl’aide de (10.4) et on montre
qu’il admet une solution unique. Enfin, on compare lessolutions des problèmes exact et approché
en étudiant l’erreur.
Dans l’exercice suivant, l’équation différentielle n’est plus linéaire. On verra comment, en rajoutant
uneméthode itérative de résolution d’équation, on peut maintenir une erreur du même ordre que
dans la cas linéaire.
Le schéma de Numerovmontre comment sur le problème initial, on peut améliorer la précision
de la méthode approchée par une variation sur les différences finies. L’étude d’erreur se fait
numériquementpour cet exemple.