Corrigés desexercices
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Si (9.7)est vérifiée, sachant que a i +1 (1 + hK) a i + b i et que t i +1 = t i + h ,ilvient
a i +1 (1 + hK)
⎡
⎣ e
K ( t i − t 0 )
a 0 +
i − 1
j = 0
e
K ( t i − t j +1 )
b j
⎤
⎦ + b i
e
hK
⎡
⎣ e
K ( t i − t 0 )
a 0 +
i − 1
j = 0
e
K ( t i − t j +1 )
b j
⎤
⎦ + b i
e
K ( t i +1 − t 0 )
a 0 +
i − 1
j = 0
e
K ( t i +1 − t j +1 )
b j + b i
= e
K ( t i +1 − t 0 )
a 0 +
n
j = 0
e
K ( t i +1 − t j +1 )
b j .
Ce qui conclut la récurrence.
5. Posons a i = u i +2 pour 0 i N − 2et b i = | m i +2 | pour 0 i N − 3.En utilisant (9.7)
avec K = 3 L ,l ’inégalité (9.6) permet de déduire que u i +2 e
K ( t i − t 0 )
u 2 +
i − 1
j = 0
e
K ( t i − t j +1 )
| m j +2 |
pour i variant de 0àN − 2. Nous majorons alors t i − t 0 et t i − t j +1 par T ,longueur de l’intervalle
pour obtenir u i +2 e
KT
⎛
⎝ u 2 +
i − 1
j = 0
| m j +2 |
⎞
⎠ ou en translatant la formule, pour 2 i N ,
u i e
KT
⎛
⎝ u 2 +
i − 1
j = 2
| m j |
⎞
⎠ en rappelant que u 2 = max(| u 0 − v 0 | , | u 1 − v 1 | , | u 2 − v 2 | ).
6. Si nous choisissons v i = y ( t i ), alors u 0 = v 0 si bien que u 2 = max
j = 1 , 2
( | u j − y ( t j ) | ). D’après la
première question,onau 2 = O ( h
3
). De plus, pour j 2, m j = ´ j par définition de ´ j ,sibien
quepour i ∈{3 ,...,N } ,nous avons
| y ( t i ) − u i | e
KT
⎛
⎝ O ( h
3
)+
N
j = 3
3
8
h
4
M 4
⎞
⎠ = O ( h
3
)
puisque N = T / h .Onvoit ici l’importance de la cohérence de l’erreur sur les premiers termes
O ( h
3
)avecl’erreur de consistance.
 Dunod –Laphotocopie non autorisée est un délit