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Méthodes multipas
Dans le chapitre précédent, nous avons étudié des méthodes numériques àunpas qui permettent de
trouver des solutions approchées d’une équation différentielle en passant d’une approximation u i à
un instant t i àune approximation u i +1 àuninstant t i +1 .Dans les méthodes multipas, on utilise non
seulement u i ,mais aussi les approximations précédentes, u i − 1 , u i − 2 ... Parexemple, en reprenant
les notations du chapitre précédent,laméthode explicite d’Adams-Bashforth àpas constant h :
u i = u i − 1 +
h
24
(55 f i − 1 − 59 f i − 2 +37 f i − 3 − 9 f i − 4 )o ù f j = f ( t j , u j ) .
L’initialisation est alors un peu plus compliquée, puisqu’il faut aussi définir les premières valeurs
par une autre méthode. Une erreurc onséquente pour ces premières valeurs fera perdre tout
l’intérêt d’une méthode précise ensuite.Lepremier exercice permet d’illustrer l’importance de
cetteinitialisation.
Dans les méthodes multipas, nous retrouvons les notions de stabilité, d’erreur de consistance,
d’ordre... Plutôt que de redéfinir ces notions, nous détaillons une méthode multipas en montrant
comment elle s’obtient àpartir d’une méthode d’intégration approchée, puis nous montrons la
stabilité, nous évaluons l’ordre de la méthode pour conclure àl ac onvergence en précisant la
vitessedeconvergence. L’étude numérique permet de confirmer que cette majoration est optimale.
ÉNONCÉS DES EXERCICES
9.1 Conditions initiales
1. On considère le problème
y
( t ) = − y ( t ) , t ∈ [0, + ∞ [
y (0) = 1
dont la solution unique est donnée par y ( t ) = e
− t
.Soient h un pas de temps donné et t i = ih pour
i = 0 , 1 ,...On détermine une solution approchée u i en t i par la méthode du point milieu, i.e.
⎧
⎨
⎩
u 0 = 1
u 1 àfixer
u i +1 = u i − 1 − 2 hu i , i = 2 ,...,n − 1 .
– 1
er
cas : On prend comme donnée u 1 = − h +
√
1+h 2 .Donner la formule de u i puis déterminer
lim
i →∞
u i .
Méthodes multipas
Dans le chapitre précédent, nous avons étudié des méthodes numériques àunpas qui permettent de
trouver des solutions approchées d’une équation différentielle en passant d’une approximation u i à
un instant t i àune approximation u i +1 àuninstant t i +1 .Dans les méthodes multipas, on utilise non
seulement u i ,mais aussi les approximations précédentes, u i − 1 , u i − 2 ... Parexemple, en reprenant
les notations du chapitre précédent,laméthode explicite d’Adams-Bashforth àpas constant h :
u i = u i − 1 +
h
24
(55 f i − 1 − 59 f i − 2 +37 f i − 3 − 9 f i − 4 )o ù f j = f ( t j , u j ) .
L’initialisation est alors un peu plus compliquée, puisqu’il faut aussi définir les premières valeurs
par une autre méthode. Une erreurc onséquente pour ces premières valeurs fera perdre tout
l’intérêt d’une méthode précise ensuite.Lepremier exercice permet d’illustrer l’importance de
cetteinitialisation.
Dans les méthodes multipas, nous retrouvons les notions de stabilité, d’erreur de consistance,
d’ordre... Plutôt que de redéfinir ces notions, nous détaillons une méthode multipas en montrant
comment elle s’obtient àpartir d’une méthode d’intégration approchée, puis nous montrons la
stabilité, nous évaluons l’ordre de la méthode pour conclure àl ac onvergence en précisant la
vitessedeconvergence. L’étude numérique permet de confirmer que cette majoration est optimale.
ÉNONCÉS DES EXERCICES
9.1 Conditions initiales
1. On considère le problème
y
( t ) = − y ( t ) , t ∈ [0, + ∞ [
y (0) = 1
dont la solution unique est donnée par y ( t ) = e
− t
.Soient h un pas de temps donné et t i = ih pour
i = 0 , 1 ,...On détermine une solution approchée u i en t i par la méthode du point milieu, i.e.
⎧
⎨
⎩
u 0 = 1
u 1 àfixer
u i +1 = u i − 1 − 2 hu i , i = 2 ,...,n − 1 .
– 1
er
cas : On prend comme donnée u 1 = − h +
√
1+h 2 .Donner la formule de u i puis déterminer
lim
i →∞
u i .