TRAVAUX PRATIQUES
TPI. Étude de quelques groupes de permutations
Dans ce TP, on se propose de manipuler avec Maple quelques groupes de
permutations, c’est-à-dire des sous-groupes du groupe symétrique S n , pour différents entiers n. D’après le théorème de Cayley, tout groupe peut être vu comme
un groupe de permutations, d’où l’importance de ces derniers. C’est l’occasion
d’étudier la structure de groupe (la définition par des générateurs, le calcul du
centre, de l’ordre des éléments) et d’appréhender sans formalisme la notion de présentation par générateurs et relations (qui sera étudiée en détail au TP.IV.A). En
particulier, on s’intéressera aux deux groupes non abéliens d’ordre 8 : le groupe D 4
des isométries du carré et le groupe quaternionique H.
☞ Quelques remarques concernant la manipulation des permutations et des
groupes de permutations sous Maple : on prendra soin de charger au préalable
la librairie group de Maple (faire with(group);).
– Définition d’une permutation. On peut soit se donner une « permutation
list » [σ(1), . . . , σ(n)] : ainsi [1,3,4,5,2] désigne pour Maple la permutation
1 2 3 4 5
1 3 4 5 2
, soit se donner la permutation σ comme la liste des cycles
à supports disjoints dont le produit est σ : ainsi [[1,2,3],[4,5]] désigne
la permutation (1, 2, 3)(4, 5). On passe de l’un à l’autre comme suit :
>convert([1,3,4,5,2],disjcyc);
>convert([[1,2,3],[4,5]],permlist,5);
>convert([[1,2,3],[4,5]],permlist,9);
>map(g->convert(g,disjcyc),[[2,3,1,5,4],[2,3,1,5,4,6,7,8,9]]);
>map(g->convert(g,disjcyc),{[2,3,1,5,4],[2,3,1,5,4,6,7,8,9]});
Noter que, dans la deuxième commande, la permutation est vue comme un
élément de S 5 et comme un élément de S 9 dans la troisième. La commande
TPI. Étude de quelques groupes de permutations
Dans ce TP, on se propose de manipuler avec Maple quelques groupes de
permutations, c’est-à-dire des sous-groupes du groupe symétrique S n , pour différents entiers n. D’après le théorème de Cayley, tout groupe peut être vu comme
un groupe de permutations, d’où l’importance de ces derniers. C’est l’occasion
d’étudier la structure de groupe (la définition par des générateurs, le calcul du
centre, de l’ordre des éléments) et d’appréhender sans formalisme la notion de présentation par générateurs et relations (qui sera étudiée en détail au TP.IV.A). En
particulier, on s’intéressera aux deux groupes non abéliens d’ordre 8 : le groupe D 4
des isométries du carré et le groupe quaternionique H.
☞ Quelques remarques concernant la manipulation des permutations et des
groupes de permutations sous Maple : on prendra soin de charger au préalable
la librairie group de Maple (faire with(group);).
– Définition d’une permutation. On peut soit se donner une « permutation
list » [σ(1), . . . , σ(n)] : ainsi [1,3,4,5,2] désigne pour Maple la permutation
1 2 3 4 5
1 3 4 5 2
, soit se donner la permutation σ comme la liste des cycles
à supports disjoints dont le produit est σ : ainsi [[1,2,3],[4,5]] désigne
la permutation (1, 2, 3)(4, 5). On passe de l’un à l’autre comme suit :
>convert([1,3,4,5,2],disjcyc);
>convert([[1,2,3],[4,5]],permlist,5);
>convert([[1,2,3],[4,5]],permlist,9);
>map(g->convert(g,disjcyc),[[2,3,1,5,4],[2,3,1,5,4,6,7,8,9]]);
>map(g->convert(g,disjcyc),{[2,3,1,5,4],[2,3,1,5,4,6,7,8,9]});
Noter que, dans la deuxième commande, la permutation est vue comme un
élément de S 5 et comme un élément de S 9 dans la troisième. La commande