THÈMES DE RÉFLEXION
♥ TR.I.A. Étude du groupe symétrique S n
Pour un ensemble E, on note S E le groupe des applications bijectives de E
dans E, ou permutations de l’ensemble E, pour la composition des applications.
On a vu (proposition I.1.1) que, dès que le cardinal de E est strictement supérieur
à 2, ce groupe est non abélien.
Le théorème de Cayley (I.2.1) et surtout les très nombreuses occasions où ils
interviennent dans des domaines très variés des mathématiques, rendent l’étude
des groupes symétriques très importante. On amorcera ici cette étude qui sera
poursuivie et approfondie aux TP.I et TR.II.B.
1. Montrer que si E et E sont des ensembles équipotents (cf. appendice), les
groupes S E et S E sont isomorphes.
Par conséquent l’étude du groupe S E , où E est un ensemble fini de cardinal n, se ramène à l’étude du groupe S n , groupe des permutations de l’ensemble
[n] = {1, . . . , n}. On rappelle que le cardinal de S n est n!, i.e. le groupe S n est
d’ordre n !.
Soit σ ∈ S n , le support de σ est l’ensemble
supp(σ) = {i ∈ [n], σ(i) = i}.
2. Montrer que, dans S n , deux éléments dont les supports sont disjoints commutent.
Pour σ ∈ S n et pour i ∈ [n], on appelle σ-orbite de i l’ensemble
Ω σ (i) = {σ
r (i), r ∈ Z}.
3. En remarquant que Ω σ (i) est la classe de i pour une relation d’équivalence
définie sur [n], et en notant {i 1 , . . . , i t } une famille de représentants des σ-orbites
distinctes dans [n], montrer que
n =
1qt
|Ω σ (i q )|.
♥ TR.I.A. Étude du groupe symétrique S n
Pour un ensemble E, on note S E le groupe des applications bijectives de E
dans E, ou permutations de l’ensemble E, pour la composition des applications.
On a vu (proposition I.1.1) que, dès que le cardinal de E est strictement supérieur
à 2, ce groupe est non abélien.
Le théorème de Cayley (I.2.1) et surtout les très nombreuses occasions où ils
interviennent dans des domaines très variés des mathématiques, rendent l’étude
des groupes symétriques très importante. On amorcera ici cette étude qui sera
poursuivie et approfondie aux TP.I et TR.II.B.
1. Montrer que si E et E sont des ensembles équipotents (cf. appendice), les
groupes S E et S E sont isomorphes.
Par conséquent l’étude du groupe S E , où E est un ensemble fini de cardinal n, se ramène à l’étude du groupe S n , groupe des permutations de l’ensemble
[n] = {1, . . . , n}. On rappelle que le cardinal de S n est n!, i.e. le groupe S n est
d’ordre n !.
Soit σ ∈ S n , le support de σ est l’ensemble
supp(σ) = {i ∈ [n], σ(i) = i}.
2. Montrer que, dans S n , deux éléments dont les supports sont disjoints commutent.
Pour σ ∈ S n et pour i ∈ [n], on appelle σ-orbite de i l’ensemble
Ω σ (i) = {σ
r (i), r ∈ Z}.
3. En remarquant que Ω σ (i) est la classe de i pour une relation d’équivalence
définie sur [n], et en notant {i 1 , . . . , i t } une famille de représentants des σ-orbites
distinctes dans [n], montrer que
n =
1qt
|Ω σ (i q )|.