Travaux pratiques
du corollaire 2, que F 3 4 est corps de rupture, donc de décomposition (puisque
tous les facteurs sont de même degré).
Polynôme générateur d’un code BCH(q, n, δ)
On suppose que n est premier avec q. Sans expliquer la terminologie (pour le
moment), un polynôme générateur g ∈ F q [x] d’un code BCH(q, n, δ) est le ppcm
des polynômes minimaux sur F q des δ − 1 puissances consécutives β, . . . , β δ−1
d’une racine primitive n-ième β dans F q .
C’est un diviseur de x n −1. En effet, puisque les β i annulent x n −1, leurs polynômes minimaux μ β i divisent tous x n − 1. On peut donc écrire g =
j∈Σ (x − β j ),
où Σ est une partie convenable de Z/nZ. Or g appartient à F q [x] si et seulement
si g(x q ) = g(x) q , donc si et seulement si Σ est stable par multiplication par q.
Définition 1. Les classes cyclotomiques sont les orbites Σ i de la multiplication
par q dans Z/nZ, i.e. les classes pour la relation d’équivalence
i ∼ j ⇔ ∃k ∈ Z, q
k i = j.
La classe Σ i de i est la plus petite partie, stable par q, contenant i, ou encore Σ i = {i, qi, . . . , q s−1 i}, où s est le plus petit entier positif non nul tel que
q k i ≡ i mod n. Les entiers k ∈ Z vérifiant cette congruence forment un sousgroupe de Z contenant l’ordre r de q dans U(Z/nZ). On voit donc que s divise r.
Enfin, le lecteur justifiera facilement que les différents facteurs irréductibles de
x n − 1 sur F q corespondent aux g i k =
j∈Σ i k
(x − β j ), pour les différentes classes
cyclotomiques Σ i k .
Voici comment construire g :
– on calcule Φ n ;
– puis on factorise Φ n sur F q et l’on choisit une racine β d’un facteur irréductible.
– Soient Σ i 1 , . . . , Σ i l les classes cyclotomiques distinctes associées à 1, . . . , δ−1
(on peut même choisir i k tel que i k = min Σ i k ). On détermine le polynôme
minimal g i k de β i k à l’aide de la décomposition en facteurs iréductibles sur
F q de Φ n/ pgcd(n,i k ) (puisque β i k est racine primitive sur F q d’ordre l’ordre
de i k dans Z/nZ) : on prend le facteur qui annule β i k .
– Alors g =
l
k=1 g i k .
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du corollaire 2, que F 3 4 est corps de rupture, donc de décomposition (puisque
tous les facteurs sont de même degré).
Polynôme générateur d’un code BCH(q, n, δ)
On suppose que n est premier avec q. Sans expliquer la terminologie (pour le
moment), un polynôme générateur g ∈ F q [x] d’un code BCH(q, n, δ) est le ppcm
des polynômes minimaux sur F q des δ − 1 puissances consécutives β, . . . , β δ−1
d’une racine primitive n-ième β dans F q .
C’est un diviseur de x n −1. En effet, puisque les β i annulent x n −1, leurs polynômes minimaux μ β i divisent tous x n − 1. On peut donc écrire g =
j∈Σ (x − β j ),
où Σ est une partie convenable de Z/nZ. Or g appartient à F q [x] si et seulement
si g(x q ) = g(x) q , donc si et seulement si Σ est stable par multiplication par q.
Définition 1. Les classes cyclotomiques sont les orbites Σ i de la multiplication
par q dans Z/nZ, i.e. les classes pour la relation d’équivalence
i ∼ j ⇔ ∃k ∈ Z, q
k i = j.
La classe Σ i de i est la plus petite partie, stable par q, contenant i, ou encore Σ i = {i, qi, . . . , q s−1 i}, où s est le plus petit entier positif non nul tel que
q k i ≡ i mod n. Les entiers k ∈ Z vérifiant cette congruence forment un sousgroupe de Z contenant l’ordre r de q dans U(Z/nZ). On voit donc que s divise r.
Enfin, le lecteur justifiera facilement que les différents facteurs irréductibles de
x n − 1 sur F q corespondent aux g i k =
j∈Σ i k
(x − β j ), pour les différentes classes
cyclotomiques Σ i k .
Voici comment construire g :
– on calcule Φ n ;
– puis on factorise Φ n sur F q et l’on choisit une racine β d’un facteur irréductible.
– Soient Σ i 1 , . . . , Σ i l les classes cyclotomiques distinctes associées à 1, . . . , δ−1
(on peut même choisir i k tel que i k = min Σ i k ). On détermine le polynôme
minimal g i k de β i k à l’aide de la décomposition en facteurs iréductibles sur
F q de Φ n/ pgcd(n,i k ) (puisque β i k est racine primitive sur F q d’ordre l’ordre
de i k dans Z/nZ) : on prend le facteur qui annule β i k .
– Alors g =
l
k=1 g i k .
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