Algèbre T1
modulo un nombre premier p (voir le chapitre XV, paragraphe 3 ; le lecteur pourra,
à titre d’exercice, démontrer l’irréductibilité sans recourir au groupe de Galois, en
adaptant les idées du théorème XV.2.1(ii)).
Plus généralement, puisque Φ n est à coefficients entiers, on peut évaluer Φ n ,
tout comme x n − 1, sur n’importe quel élément d’un anneau A. On peut aussi
regarder Φ n comme un polynôme de A[x], en considérant que ses coefficients
a i ∈ Z sont maintenant a i .1 A ∈ A, ce qui revient, pour A = Z/pZ, à réduire les
coefficients modulo p. Les racines de x n − 1 dans un corps K sont appelées les
racines de l’unité dans K ; une telle racine est dite primitive si x n = 1 K , mais
x d = 1 K pour tout diviseur strict de n.
Proposition 1. Supposons que la caractéristique de K soit première avec n. Alors
les racines de l’unité dans K sont des racines simples du polynôme x n − 1 ∈ K[x].
Plus généralement, les facteurs irréductibles dans la décomposition de x n − 1 en
irréductibles dans K[x] sont tous de multiplicité un. Les racines primitives de
l’unité dans K sont les racines de Φ n dans K.
Démonstration. Le polynôme dérivé de P = x n − 1 est P = nx n−1 , qui est non nul
car la caractéristique de K ne divise pas n. On en déduit que pgcd(P, P ) = 1 (car
0 n’est pas racine de P ), donc les racines de P (dans un corps de décomposition)
sont simples et les facteurs irréductibles dans la décomposition sur K[x] sont de
multiplicité un.
L’égalité (XV.1) dans Z[x] se transforme en une égalité dans K[x]. Comme les
racines de l’unité sont des racines simples, chacune est donc racine d’un unique
Φ d , pour d divisant n. Or les racines qui ne sont pas primitives sont les racines
de x d − 1, pour d un diviseur strict de n, donc ce sont les racines des Φ d pour d
un diviseur strict de n. Cela démontre que les racines primitives dans K sont les
racines de Φ n dans K.
Bien que le polynôme Φ n soit irréductible sur Q, il n’en est pas nécessairement
de même lorsqu’on le réduit modulo p. Par exemple, Φ 7 (x) = x 6 + . . . + x + 1 se
décompose en Φ 7 (x) = (x 3 + x + ¯ 1)(x 3 + x 2 + ¯ 1) dans F 2 [x].
Nous allons dire ce qu’il advient si l’on regarde Φ n comme un polynôme Φ n,q
de F q [x], où F q désigne un corps fini à q = p n éléments. Comme K = F q est de
caractéristique p, il contient canoniquement F p = {m.1 K } et Φ n,q se déduit de Φ n
en réduisant les coefficients modulo p (et non q !). Parler de la décomposition ou de
l’irréductibilité de Φ n sur F q est une commodité de langage : il s’agit bien-entendu
de Φ n,q .
Proposition 2. Soit F q un corps fini à q éléments et n un entier premier à q. Notons
r l’ordre de la classe de q dans U(Z/nZ) (i.e. le plus petit entier tel que q r ≡ 1
388
modulo un nombre premier p (voir le chapitre XV, paragraphe 3 ; le lecteur pourra,
à titre d’exercice, démontrer l’irréductibilité sans recourir au groupe de Galois, en
adaptant les idées du théorème XV.2.1(ii)).
Plus généralement, puisque Φ n est à coefficients entiers, on peut évaluer Φ n ,
tout comme x n − 1, sur n’importe quel élément d’un anneau A. On peut aussi
regarder Φ n comme un polynôme de A[x], en considérant que ses coefficients
a i ∈ Z sont maintenant a i .1 A ∈ A, ce qui revient, pour A = Z/pZ, à réduire les
coefficients modulo p. Les racines de x n − 1 dans un corps K sont appelées les
racines de l’unité dans K ; une telle racine est dite primitive si x n = 1 K , mais
x d = 1 K pour tout diviseur strict de n.
Proposition 1. Supposons que la caractéristique de K soit première avec n. Alors
les racines de l’unité dans K sont des racines simples du polynôme x n − 1 ∈ K[x].
Plus généralement, les facteurs irréductibles dans la décomposition de x n − 1 en
irréductibles dans K[x] sont tous de multiplicité un. Les racines primitives de
l’unité dans K sont les racines de Φ n dans K.
Démonstration. Le polynôme dérivé de P = x n − 1 est P = nx n−1 , qui est non nul
car la caractéristique de K ne divise pas n. On en déduit que pgcd(P, P ) = 1 (car
0 n’est pas racine de P ), donc les racines de P (dans un corps de décomposition)
sont simples et les facteurs irréductibles dans la décomposition sur K[x] sont de
multiplicité un.
L’égalité (XV.1) dans Z[x] se transforme en une égalité dans K[x]. Comme les
racines de l’unité sont des racines simples, chacune est donc racine d’un unique
Φ d , pour d divisant n. Or les racines qui ne sont pas primitives sont les racines
de x d − 1, pour d un diviseur strict de n, donc ce sont les racines des Φ d pour d
un diviseur strict de n. Cela démontre que les racines primitives dans K sont les
racines de Φ n dans K.
Bien que le polynôme Φ n soit irréductible sur Q, il n’en est pas nécessairement
de même lorsqu’on le réduit modulo p. Par exemple, Φ 7 (x) = x 6 + . . . + x + 1 se
décompose en Φ 7 (x) = (x 3 + x + ¯ 1)(x 3 + x 2 + ¯ 1) dans F 2 [x].
Nous allons dire ce qu’il advient si l’on regarde Φ n comme un polynôme Φ n,q
de F q [x], où F q désigne un corps fini à q = p n éléments. Comme K = F q est de
caractéristique p, il contient canoniquement F p = {m.1 K } et Φ n,q se déduit de Φ n
en réduisant les coefficients modulo p (et non q !). Parler de la décomposition ou de
l’irréductibilité de Φ n sur F q est une commodité de langage : il s’agit bien-entendu
de Φ n,q .
Proposition 2. Soit F q un corps fini à q éléments et n un entier premier à q. Notons
r l’ordre de la classe de q dans U(Z/nZ) (i.e. le plus petit entier tel que q r ≡ 1
388