Travaux pratiques
TP.IX.B. Les quaternions de Hamilton
Ce TP propose une construction géométrique du corps (non commutatif) H
des quaternions de Hamilton. On y étudie la structure algébrique de H, puis l’on
interprète géométriquement l’action de H × par automorphisme intérieur sur H.
Il en résulte un isomorphisme entre SO 3 (R) et le quotient H × /R × . Cela permet
d’interpréter algébriquement la composition de deux rotations de l’espace, de manière similaire au cas de la dimension 2, où il est bien connu que la composition
de rotations correspond au produit de nombres complexes de norme 1. Telle était
d’ailleurs l’une des motivations à l’introduction des quaternions par Hamilton.
Ce TP reprend et complète une partie des notions rencontrées au cours du
TR.IX.B : on regarde les coordonnées cartésiennes comme des variables formelles
et on donne des preuves analytiques formelles de certains résultats démontrés au
papier-crayon dans le thème de réflexion (notamment l’associativité du produit
des quaternions et la description des automorphismes intérieurs comme rotations
de l’espace E). Une telle méthode, sans l’aide de l’ordinateur pour effectuer les calculs, serait fastidieuse. Cependant, Maple travaillant dans des corps de fractions
rationnelles, il s’agit d’être rigoureux lorsque l’on évalue en des réels donnés.
On rappelle que l’ensemble H des quaternions de Hamilton est l’ensemble des
couples (r, u) ∈ R × E, où E désigne l’espace euclidien orienté de dimension 3.
On dit que r est la composante réelle et u est appelée composante quaternionique
pure. L’ensemble H hérite de manière canonique d’une structure d’espace vectoriel
de dimension 4 sur le corps des réels. Après identification naturelle de R et E avec
des sous-espaces de H, on note H = R ⊕ E. Choisissant une base orthonormée
directe (i, j, k) de E, ainsi identifié à R 3 , et avec les identifications précédentes,
tout quaternion s’écrit q = r + xi + yj + zk.
On définit le conjugué q ∗ du quaternion q = (r, u), sa norme N (q) et sa trace
T r(q) comme suit :
q
∗ = (r, −u), N(q) = qq
∗ = r
2 + u
2 , Tr(q) = q + q
∗ = 2r.
D’autre part, on munit H d’une multiplication notée · par la formule suivante :
(r, u) · (s, v) = (rs − u.v, rv + su + u ∧ v).
☞ Remarques concernant la manipulation des vecteurs et matrices sous
Maple : nous utiliserons la librairie LinearAlgebra de Maple (faire
with(LinearAlgebra);). Les opérations sur les vecteurs s’effectuent avec les commandes VectorAdd, VectorScalarMultiply.
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TP.IX.B. Les quaternions de Hamilton
Ce TP propose une construction géométrique du corps (non commutatif) H
des quaternions de Hamilton. On y étudie la structure algébrique de H, puis l’on
interprète géométriquement l’action de H × par automorphisme intérieur sur H.
Il en résulte un isomorphisme entre SO 3 (R) et le quotient H × /R × . Cela permet
d’interpréter algébriquement la composition de deux rotations de l’espace, de manière similaire au cas de la dimension 2, où il est bien connu que la composition
de rotations correspond au produit de nombres complexes de norme 1. Telle était
d’ailleurs l’une des motivations à l’introduction des quaternions par Hamilton.
Ce TP reprend et complète une partie des notions rencontrées au cours du
TR.IX.B : on regarde les coordonnées cartésiennes comme des variables formelles
et on donne des preuves analytiques formelles de certains résultats démontrés au
papier-crayon dans le thème de réflexion (notamment l’associativité du produit
des quaternions et la description des automorphismes intérieurs comme rotations
de l’espace E). Une telle méthode, sans l’aide de l’ordinateur pour effectuer les calculs, serait fastidieuse. Cependant, Maple travaillant dans des corps de fractions
rationnelles, il s’agit d’être rigoureux lorsque l’on évalue en des réels donnés.
On rappelle que l’ensemble H des quaternions de Hamilton est l’ensemble des
couples (r, u) ∈ R × E, où E désigne l’espace euclidien orienté de dimension 3.
On dit que r est la composante réelle et u est appelée composante quaternionique
pure. L’ensemble H hérite de manière canonique d’une structure d’espace vectoriel
de dimension 4 sur le corps des réels. Après identification naturelle de R et E avec
des sous-espaces de H, on note H = R ⊕ E. Choisissant une base orthonormée
directe (i, j, k) de E, ainsi identifié à R 3 , et avec les identifications précédentes,
tout quaternion s’écrit q = r + xi + yj + zk.
On définit le conjugué q ∗ du quaternion q = (r, u), sa norme N (q) et sa trace
T r(q) comme suit :
q
∗ = (r, −u), N(q) = qq
∗ = r
2 + u
2 , Tr(q) = q + q
∗ = 2r.
D’autre part, on munit H d’une multiplication notée · par la formule suivante :
(r, u) · (s, v) = (rs − u.v, rv + su + u ∧ v).
☞ Remarques concernant la manipulation des vecteurs et matrices sous
Maple : nous utiliserons la librairie LinearAlgebra de Maple (faire
with(LinearAlgebra);). Les opérations sur les vecteurs s’effectuent avec les commandes VectorAdd, VectorScalarMultiply.
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