VIII.11. Polynômes symétriques
De plus, le polynôme g 1 étant de poids d en les ˜
s i , g 1 (s 1 , . . . , s n−1 ) est de degré
total en T 1 , . . . , T n au plus égal à d : en effet, puisque deg(s i ) = i, le monôme
s
m 1
1 . . . s
m n−1
n−1 , exprimé en fonction des T 1 , . . . , T n , est de degré total inférieur ou
égal à m 1 + 2m 2 + . . . + (n − 1)m n−1 , qui est inférieur ou égal à d.
Par conséquent, le degré total de f 2 est inférieur ou égal à d − n < d. Par
hypothèse de récurrence sur d, il existe un polynôme g 2 ∈ A[T 1 , . . . , T n ], de poids
égal à d − n en les s i , tel que
f 2 (T 1 , . . . , T n ) = g 2 (s 1 , . . . , s n ).
On obtient alors,
f (T 1 , . . . , T n ) = g 1 (s 1 , . . . , s n−1 ) + s n g 2 (s 1 , . . . , s n )
et le second membre est un polynôme de poids d en les s i .
Ceci achève la démonstration du théorème (VIII.11.1).
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De plus, le polynôme g 1 étant de poids d en les ˜
s i , g 1 (s 1 , . . . , s n−1 ) est de degré
total en T 1 , . . . , T n au plus égal à d : en effet, puisque deg(s i ) = i, le monôme
s
m 1
1 . . . s
m n−1
n−1 , exprimé en fonction des T 1 , . . . , T n , est de degré total inférieur ou
égal à m 1 + 2m 2 + . . . + (n − 1)m n−1 , qui est inférieur ou égal à d.
Par conséquent, le degré total de f 2 est inférieur ou égal à d − n < d. Par
hypothèse de récurrence sur d, il existe un polynôme g 2 ∈ A[T 1 , . . . , T n ], de poids
égal à d − n en les s i , tel que
f 2 (T 1 , . . . , T n ) = g 2 (s 1 , . . . , s n ).
On obtient alors,
f (T 1 , . . . , T n ) = g 1 (s 1 , . . . , s n−1 ) + s n g 2 (s 1 , . . . , s n )
et le second membre est un polynôme de poids d en les s i .
Ceci achève la démonstration du théorème (VIII.11.1).
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