Algèbre T1
nombre d’éléments x ∈ X tels que g · x = x. La formule de Burnside dit que
N =
1
Card(G)
g∈G
r(g).
☞ Quelques commandes Maple utiles : add.
10. Démontrer la formule de Burnside (indication : on pourra poser δ(x, g) = 1
si g ·x = x et 0 sinon, puis calculer
g∈G r(g) en introduisant la fonction δ).
Écrire une fonction nbPtFix renvoyant, en fonction de g et de n, le nombre
de points fixes de la permutation g de degré n agissant sur X n . Quel est le
nombre de points fixes pour l’action sur X k
n par rapport à celle sur X n ? En
déduire une procédure nbOrb:=proc(k,G) calculant, à l’aide de la formule
de Burnside, le nombre d’orbites pour l’action diagonale d’un groupe de
permutations G sur X k
n . Comparer les temps de calcul entre OrbitesG et
nbOrb, par exemple pour S 5 agissant sur X 5
5 . Conclusion ?
11. Le gain obtenu nous permet d’investiguer de nouveaux exemples. Parmi la
liste suivante des groupes de permutations transitifs de degré 6, lesquels
sont 4-transitifs (ou plus) ? On écrira une procédure OrdreTrans:=proc(G)
renvoyant l’ordre de transitivité du groupe de permutations G.
L[11]:=permgroup(6,{[[1,2,3,4,5,6]]}):
L[12]:=permgroup(6,{[[1,5],[2,4],[3,6]],[[1,6],[2,5],[3,4]]}):
L[13]:=permgroup(6,{[[1,2,3,4,5,6]],[[2,6],[3,5]]}):
L[14]:=permgroup(6,{[[1,3,5],[2,4,6]],[[1,2],[5,6]]}):
L[15]:=permgroup(6,{[[1,2,3]],[[1,4],[2,5],[3,6]]}):
L[16]:=permgroup(6,{[[1,3,5],[2,4,6]],[[1,2]]}):
L[17]:=permgroup(6,{[[1,3,5],[2,4,6]],[[1,6],[2,5]]}):
L[18]:=permgroup(6,{[[1,2],[3,4],[5,6]],[[1,2,3],[4,5,6]]}):
L[19]:=permgroup(6,{[[1,2,3,4,5,6]],[[1,3],[2,4]]}):
L[20]:=permgroup(6,{[[1,2,3]],[[1,5,2,4],[3,6]]}):
L[21]:=permgroup(6,{[[1,2,3,4]],[[1,5],[3,6]]}):
L[22]:=permgroup(6,{[[1,2,3,4,5]],[[1,6],[2,5]]}):
L[23]:=permgroup(6,{[[1,2,3,4,5,6]],[[1,3]]}):
L[24]:=permgroup(6,{[[1,2,3,4,5]],[[1,6],[2,3],[4,5]]}):
L[25]:=permgroup(6,{[[1,2,3,4,5,6]],[[4,5,6]]}):
L[26]:=permgroup(6,{[[1,2,3,4,5,6]],[[1,2]]}):
112