Algèbre T1
Étude de la k-transitivité
On dit qu’un groupe G opère k-transitivement sur un ensemble X (de cardinal supérieur ou égal à k) s’il opère transitivement (pour l’action diagonale) sur
l’ensemble des k-uplets de points tous distincts : pour tout x = (x 1 , . . . , x k ) et
x = (x
1 , . . . , x
k ) dans X k tels que x i = x j et x
i = x
j (j = i), il existe g ∈ G tel
que, pour tout i, g · x i = x
i . En particulier, un groupe agissant k-transitivement
agit transitivement et l-transitivement pour l k.
☞ Quelques commandes Maple utiles : irem ; on peut définir le produit
cartésien X 2
n par deux commandes seq successives :
X2:=n->{seq(seq([i,j],i=1..n),j=1..n)}:
5. Écrire une fonction orbite2 renvoyant, en fonction de n, la liste des orbites
pour l’action diagonale de S n sur X 2
n . Tester avec n = 3 : quel est le nombre
d’orbites ? Vérifier que ces actions sont 2-transitives, pour 3 n 7.
6. Écrire une fonction Orbite2 renvoyant, en fonction du groupe de permutations
G, la liste des orbites pour l’action diagonale sur X 2
n (n sera donc le degré
de G). En déduire que les seuls groupes 2-transitifs de degré 4 sont S 4 et A 4 .
Déterminer également le cas du degré 5, i.e. les groupes de permutations agissant 2-transitivement parmi les groupes transitifs de degré 5 dont voici la liste :
L[6]:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]]}):
L[7]:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[1,2]]}):
L[8]:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[2,5],[3,4]]}):
L[9]:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[1,2,3]]}):
L[10]:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[2,3,5,4]]}):
Reconnaître S 5 et A 5 et vérifier que L 10 est un produit semi-direct.
7. Pour définir X k
n sous Maple, une solution est d’indexer ses éléments à l’aide
de la bijection Φ k : {1, . . . , n k } → X k
n dont la réciproque est la fonction
(x 1 , . . . , x k ) → 1 +
k
i=1
(x i − 1)k
i−1
(à un décalage près, cela correspond à l’écriture d’un nombre en base k).
Écrire une procédure Phik:=proc(i,n,k) calculant Φ k (i) et définir X k
n sous
Maple comme une fonction Xk de n et k.
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Étude de la k-transitivité
On dit qu’un groupe G opère k-transitivement sur un ensemble X (de cardinal supérieur ou égal à k) s’il opère transitivement (pour l’action diagonale) sur
l’ensemble des k-uplets de points tous distincts : pour tout x = (x 1 , . . . , x k ) et
x = (x
1 , . . . , x
k ) dans X k tels que x i = x j et x
i = x
j (j = i), il existe g ∈ G tel
que, pour tout i, g · x i = x
i . En particulier, un groupe agissant k-transitivement
agit transitivement et l-transitivement pour l k.
☞ Quelques commandes Maple utiles : irem ; on peut définir le produit
cartésien X 2
n par deux commandes seq successives :
X2:=n->{seq(seq([i,j],i=1..n),j=1..n)}:
5. Écrire une fonction orbite2 renvoyant, en fonction de n, la liste des orbites
pour l’action diagonale de S n sur X 2
n . Tester avec n = 3 : quel est le nombre
d’orbites ? Vérifier que ces actions sont 2-transitives, pour 3 n 7.
6. Écrire une fonction Orbite2 renvoyant, en fonction du groupe de permutations
G, la liste des orbites pour l’action diagonale sur X 2
n (n sera donc le degré
de G). En déduire que les seuls groupes 2-transitifs de degré 4 sont S 4 et A 4 .
Déterminer également le cas du degré 5, i.e. les groupes de permutations agissant 2-transitivement parmi les groupes transitifs de degré 5 dont voici la liste :
L[6]:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]]}):
L[7]:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[1,2]]}):
L[8]:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[2,5],[3,4]]}):
L[9]:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[1,2,3]]}):
L[10]:=permgroup(5,{[[1,2,3,4,5]],[[2,3,5,4]]}):
Reconnaître S 5 et A 5 et vérifier que L 10 est un produit semi-direct.
7. Pour définir X k
n sous Maple, une solution est d’indexer ses éléments à l’aide
de la bijection Φ k : {1, . . . , n k } → X k
n dont la réciproque est la fonction
(x 1 , . . . , x k ) → 1 +
k
i=1
(x i − 1)k
i−1
(à un décalage près, cela correspond à l’écriture d’un nombre en base k).
Écrire une procédure Phik:=proc(i,n,k) calculant Φ k (i) et définir X k
n sous
Maple comme une fonction Xk de n et k.
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