Algèbre T1
dernier est fini, etc.) et fournit des présentations de quelques groupes usuels intéressants (par exemple le groupe des isométries directes du carré et celui du tétraèdre, isomorphes à S 4 et A 4 respectivement). On utilise Maple pour vérifier que
l’on a bien obtenu toutes les relations, point difficile qu’il est fastidieux de réaliser
à la main. D’autre part, c’est l’occasion, via l’algorithme de Todd-Coxeter, d’étudier l’opération de G sur G/H par translation. Apparaissent également, parmi les
exemples choisis, plusieurs produits semi-directs.
☞ Ne pas oublier de charger la librairie Maple dédiée à la manipulation des
groupes : with(group);.
Familiarisation avec les commandes Maple : premiers exemples
1. La définition d’un groupe par générateurs et relations se fait avec la commande grelgroup. Écrire deux fonctions Cyclique et Diedral définissant,
par une présentation et en fonction de n, le groupe cyclique C n Z/nZ et le
groupe diédral D n des isométries du polygone régulier à n côtés (indication : on
rappelle que ce second groupe est engendré par la rotation d’angle
2π
n et une symétrie axiale ; autrement dit, D n = {a, b}|a n , b 2 , abab. On renvoie au besoin
à TR.IV.A pour plus de détails). Vérifier, avec la commande grouporder, que
l’on obtient bien le nombre d’éléments escompté. Définir également le groupe
libre Z Z à 1 élément et lui appliquer la commande grouporder.
2. Soit G un groupe engendré par un ensemble d’éléments X = {a i } i∈I vérifiant
un ensemble de relations R = {r k = 1 G } k∈K . Pour démontrer que X|R est
une présentation de G, i.e. que G est isomorphe au quotient G = L(X)/(R),
on montre en pratique que Card(G ) = Card(G) (en fait l’inégalité suffit) :
on a une application G → G en vertu de la propriété universelle et du théorème
de factorisation (cf. chapitre III, proposition III.2.1), qui est surjective puisque
X engendre G. La difficulté consiste à montrer l’injectivité, autrement dit, que
ce sont bien là toutes les relations. On peut utiliser Maple pour cela.
Démontrer, en utilisant cette stratégie, que S 4 b}|a 4 , b 2 , (ab) 3 et donner
également une présentation de A 4 . Pour finir, remarquer que l’algorithme de
Maple est tellement gourmand en terme d’espace disque utilisé qu’il est difficile de statuer avec l’ordinateur si A 5 b}|a 3 , b 3 , (ab) 5 ou non (suggéré
par le choix des générateurs a = (123) et b = (345) de A 5 ).
3. Si G = X|R, on définit un sous-groupe H de G par l’ensemble de ses générateurs, exprimés comme des mots en les éléments de X. On utilise pour cela
la commande subgrel.
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dernier est fini, etc.) et fournit des présentations de quelques groupes usuels intéressants (par exemple le groupe des isométries directes du carré et celui du tétraèdre, isomorphes à S 4 et A 4 respectivement). On utilise Maple pour vérifier que
l’on a bien obtenu toutes les relations, point difficile qu’il est fastidieux de réaliser
à la main. D’autre part, c’est l’occasion, via l’algorithme de Todd-Coxeter, d’étudier l’opération de G sur G/H par translation. Apparaissent également, parmi les
exemples choisis, plusieurs produits semi-directs.
☞ Ne pas oublier de charger la librairie Maple dédiée à la manipulation des
groupes : with(group);.
Familiarisation avec les commandes Maple : premiers exemples
1. La définition d’un groupe par générateurs et relations se fait avec la commande grelgroup. Écrire deux fonctions Cyclique et Diedral définissant,
par une présentation et en fonction de n, le groupe cyclique C n Z/nZ et le
groupe diédral D n des isométries du polygone régulier à n côtés (indication : on
rappelle que ce second groupe est engendré par la rotation d’angle
2π
n et une symétrie axiale ; autrement dit, D n = {a, b}|a n , b 2 , abab. On renvoie au besoin
à TR.IV.A pour plus de détails). Vérifier, avec la commande grouporder, que
l’on obtient bien le nombre d’éléments escompté. Définir également le groupe
libre Z Z à 1 élément et lui appliquer la commande grouporder.
2. Soit G un groupe engendré par un ensemble d’éléments X = {a i } i∈I vérifiant
un ensemble de relations R = {r k = 1 G } k∈K . Pour démontrer que X|R est
une présentation de G, i.e. que G est isomorphe au quotient G = L(X)/(R),
on montre en pratique que Card(G ) = Card(G) (en fait l’inégalité suffit) :
on a une application G → G en vertu de la propriété universelle et du théorème
de factorisation (cf. chapitre III, proposition III.2.1), qui est surjective puisque
X engendre G. La difficulté consiste à montrer l’injectivité, autrement dit, que
ce sont bien là toutes les relations. On peut utiliser Maple pour cela.
Démontrer, en utilisant cette stratégie, que S 4 b}|a 4 , b 2 , (ab) 3 et donner
également une présentation de A 4 . Pour finir, remarquer que l’algorithme de
Maple est tellement gourmand en terme d’espace disque utilisé qu’il est difficile de statuer avec l’ordinateur si A 5 b}|a 3 , b 3 , (ab) 5 ou non (suggéré
par le choix des générateurs a = (123) et b = (345) de A 5 ).
3. Si G = X|R, on définit un sous-groupe H de G par l’ensemble de ses générateurs, exprimés comme des mots en les éléments de X. On utilise pour cela
la commande subgrel.
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