Ker(( + Id)
= K(X 2 − 1)
Ker(( − Id)
= K(X − 1) 2
Ker(( − 3 Id) = K(X + 1) 2
Exercice 2.2 : Éléments propres d'un endomorphisme d'un espace de
fonctions
Soit E l'espace vectoriel des applications continues de R + dans R. Pour f ∈ E
on définit une application T f : R + → R par T f (0) = f (0) et
∀x ∈ R
∗
+ ,T f (x) =
1
x
x
0
f (t) dt.
1. Montrer que, pour tout f ∈ E,T f ∈ E.
2. Soit T : E → E, f → T f . Montrer que T est linéaire.
3. Déterminer les éléments propres de T.
1. Soit f ∈ E. La fonction T f est définie séparément sur R ∗
+ et en 0. Nous allons
donc vérifier séparément la continuité de T f sur R ∗
+ et en 0. Vu la définition de T f
il est assez naturel de faire apparaître une primitive de f.
Soit F la primitive de f sur R + nulle en 0. Alors, pour x > 0,
T f (x) =
1
x
F(x), donc T f est continue sur R ∗
+ (et même en fait de classe
C 1 puisque F l'est).
Par ailleurs F(0) = 0 donc, pour x > 0, T f (x) =
F(x) − F(0)
x − 0
. Ainsi, T f
tend vers F (0) = f (0) quand x tend vers 0, donc T f est également continue en 0.
Ainsi, T f est continue sur R + donc T f ∈ E.
2. Nous devons vérifier l'égalité T (λ f + µ g) = λ T ( f ) + µ T (g) pour tous f et
g ∈ E et λ et µ ∈ K. Autrement dit il faut vérifier, pour tout x ∈ R + , l'égalité
T λ f +µ g (x) = λ T f (x) + µ T g (x) . Comme les fonctions de la forme T h sont définies
séparément sur R ∗
+ et en 0, nous allons distinguer à nouveau ces deux cas.
Soient ( f,g) ∈ E 2 et (λ,µ) ∈ R 2 . Alors :
• pour x > 0,
T λ f +µ g (x) =
1
x
x
0
λ f (t) + µ g(t) dt
= λ
1
x
x
0
f (t) dt + µ
1
x
x
0
g(t) dt
= λ T f (x) + µ T g (x)
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire