Ainsi, la relation
(2X + 1 − λ)P = (X
2
− 1)P
s'écrit
2 a X
3
+ (2 b + (1 − λ)a)X
2
+ (2 c + (1 − λ)b)X + (1 − λ)c
= 2 a X
3
+ b X
2
− 2 a X − b
soit, après simplification et regroupement des termes dans le membre de
gauche :
(b + (1 − λ)a)X
2
+ (2(c + a) + (1 − λ)b)X + b + (1 − λ)c = 0.
Un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls. On
déduit donc de l'égalité précédente le système
(S)



(1 − λ)a + b = 0
(1 − λ)b + 2(a + c) = 0
(1 − λ)c + b = 0
La présence du facteur (1 − λ) dans ces équations suggère d'étudier séparément le
cas λ = 1. En effet, dans ce cas, les équations se simplifient considérablement.
Dans le cas λ = / 1, nous pourrons au besoin diviser par 1 − λ pour extraire a, b et
c de ces équations.
• Supposons λ = 1 : le système se réduit à b = 0 et c = − a ; on a donc
P = a(X 2 − 1). Ainsi, Ker(( − Id) ⊂ K(X 2 − 1) .
À ce stade, nous avons simplement montré l'inclusion. Pour déterminer s'il y a égalité, remarquons que K(X 2 − 1) est de dimension 1. De deux choses l'une : soit
Ker(( − Id) = K(X 2 − 1) , auquel cas 1 est bien valeur propre de et K(X 2 − 1)
et le sous-espace propre associé, soit Ker(( − Id) = {0} et 1 n'est pas valeur propre
de . Il n'y a donc plus qu'à chercher si X 2 − 1 ∈ Ker(( − Id), i.e.
(X 2 − 1) = X 2 − 1 . Cette question est facile puisqu'il suffit de vérifier une relation en remplaçant P par X 2 − 1 dans la formule définissant . Ce calcul est simple
et montre qu'on a bien (X 2 − 1) = X 2 − 1 .
Par ailleurs :
(X 2 − 1) = (2 X + 1)(X 2 − 1) − (X 2 − 1)(2 X)
= X 2 − 1.
Ainsi, X 2 − 1 ∈ Ker(( − Id) donc K(X 2 − 1) ⊂ Ker(( − Id) .
En résumé, Ker(( − Id) = K(X 2 − 1) qui est de dimension 1 : 1 est
valeur propre de et le sous-espace propre associé est la droite vectorielle
K(X 2 − 1).
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire