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Exercice 2.1 : Éléments propres d'un endomorphisme d'un espace de
polynômes
Soit K = R ou C. Pour P ∈ K[X] on pose :
(P) = (2X + 1)P − (X
2
− 1)P
.
1. Montrer que est un endomorphisme de K[X].
2. Soit P est un vecteur propre de . Montrer que P = / 0 et en déduire le degré
de P.
3. Déterminer les éléments propres de .
1. Ce genre de question, extrêmement courante au début d'un exercice d'algèbre
linéaire, ne présente en général aucune difficulté : il s'agit simplement de vérifier
que est linéaire à partir de la définition même de la linéarité.
Soient (λ,µ) ∈ K 2 et (P,Q) ∈ K[X] 2 . Alors :
(λ P + µ Q) = (2X + 1)(λ P + µ Q) − (X
2
− 1)(λ P + µ Q)
.
D'une part, (2X + 1)(λ P + µ Q) = λ(2X + 1)P + µ(2X + 1)Q.
D'autre part,
(X
2
− 1)(λ P + µ Q)
= (X
2
− 1)(λ P
+µ Q
)
= λ (X
2
− 1)P
+ µ (X
2
− 1)Q
.
Ainsi,
(λ P + µ Q) = λ (2X + 1)P + µ (2X + 1)Q − (λ (X 2 − 1)P
+µ (X 2 − 1)Q )
= λ (P) + µ (Q)
donc est linéaire.
2. La définition d'un vecteur propre P de est : P = / 0 et il existe λ ∈ K tel que
(P) = λ P.
Cette dernière relation s'écrit
(2X + 1)P − (X
2
− 1)P
= λ P
Algèbre linéaire
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