MANUEL DE CALCUL NUMÉRIQUE APPLIQUÉ
d - Représentation des entiers et des flottants dans certains langages utilisés avec les
micro-ordinateurs - Selon les logiciels et les ordinateurs utilisés, la représentation entière
s’effectue sur 2, 4 voire 8 octets : en binaire pur pour les entiers positifs et en complément
à deux pour les entiers négatifs. Dans le cas de deux octets, on dispose de nombres compris dans
l’intervalle (-32 768, +32 767).
Remarque : En général, en arithmétique entière, au cours des calculs les dépassements de
capacité sont automatiquement masqués et les calculs sont effectués modulo 2m, avec m = 8k - 1
où k est le nombre d’octets retenus pour la représentation. Cette propriété sera utilisée pour
générer des nombres pseudo-aléatoires.
La représentation des nombres flottants s’effectue sur des doubles mots soit 4 octets. Le
système est identique à celui utilisé pour les Basics à la différence près toutefois qu’on ne
dispose plus que de 3 octets au lieu de 4 pour écrire la mantisse. En conséquence de quoi la
dynamique est évidemment la même, tandis que la précision se trouve un peu réduite, elle se
situe au voisinage de :
e, = 1/223 = 1,210F7.
e - La double précision - Par exemple, en C, dans les micro-ordinateurs usuels, la représentation des nombres en double précision s’effectue sur 8 octets, soit 16 demi-octets. Les trois
premiers demi-octets contiennent le bit de signe du nombre suivi de l’exposant, ce qui permet une
dynamique de l’ordre de 10~so8 à 10308 La mantisse est représentée sur les treize demi-octets
.
restants. La plus petite mantisse est donc 8 x 1612 sur laquelle l’erreur d’arrondi est 0,5. La
précision relative la plus défavorable est donc de l’ordre de 0,2 10p16.
10. Éléments de bibliographie
N. B AKHVALOV (1976) Méthodes Numériques, Éditions MIR.
C. BERNARD~, B. M ETIVET et R. VERFURTH (1996) A review of a posteriori errer estimation
and adaptive mesh-refinement techniques, Wiley.
H. BESTOUGEFF, GUILPIN Ch. et M. JACQUES (1975) La Technique Informatique, Tomes 1 et II,
Masson.
B. DÉMIDOVITCH et L. MARON (1979) El . éments de Calcul Numérique, Éditions MIR.
P. HENRICI (1964) Elements of Numerical Analysis, Wiley.
F. HILDEBRAND (1956) Introduction to the numerical analysis, Mc Graw-Hill.
D. Mc CRACKEN et W. DORN (1964) Numerical Methods and Fortran Programming, Wiley.
E. NAGEL, J. N EWMAN, K. GODEL et J.-Y. GIRARD (1989) Le théorème de Godel, Seuil.
A. RALSTON et H.S. WILF (1965) Méthodes mathématiques pour calculateurs arithmétiques,
Dunod.
H. RUTISHAUSER (1990) Lectures on numerical mathematics, Springer-Verlag.
J. STOER et R. BULIRSCH (1993) Introduction to numerical analysis, Springer-Verlag.
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d - Représentation des entiers et des flottants dans certains langages utilisés avec les
micro-ordinateurs - Selon les logiciels et les ordinateurs utilisés, la représentation entière
s’effectue sur 2, 4 voire 8 octets : en binaire pur pour les entiers positifs et en complément
à deux pour les entiers négatifs. Dans le cas de deux octets, on dispose de nombres compris dans
l’intervalle (-32 768, +32 767).
Remarque : En général, en arithmétique entière, au cours des calculs les dépassements de
capacité sont automatiquement masqués et les calculs sont effectués modulo 2m, avec m = 8k - 1
où k est le nombre d’octets retenus pour la représentation. Cette propriété sera utilisée pour
générer des nombres pseudo-aléatoires.
La représentation des nombres flottants s’effectue sur des doubles mots soit 4 octets. Le
système est identique à celui utilisé pour les Basics à la différence près toutefois qu’on ne
dispose plus que de 3 octets au lieu de 4 pour écrire la mantisse. En conséquence de quoi la
dynamique est évidemment la même, tandis que la précision se trouve un peu réduite, elle se
situe au voisinage de :
e, = 1/223 = 1,210F7.
e - La double précision - Par exemple, en C, dans les micro-ordinateurs usuels, la représentation des nombres en double précision s’effectue sur 8 octets, soit 16 demi-octets. Les trois
premiers demi-octets contiennent le bit de signe du nombre suivi de l’exposant, ce qui permet une
dynamique de l’ordre de 10~so8 à 10308 La mantisse est représentée sur les treize demi-octets
.
restants. La plus petite mantisse est donc 8 x 1612 sur laquelle l’erreur d’arrondi est 0,5. La
précision relative la plus défavorable est donc de l’ordre de 0,2 10p16.
10. Éléments de bibliographie
N. B AKHVALOV (1976) Méthodes Numériques, Éditions MIR.
C. BERNARD~, B. M ETIVET et R. VERFURTH (1996) A review of a posteriori errer estimation
and adaptive mesh-refinement techniques, Wiley.
H. BESTOUGEFF, GUILPIN Ch. et M. JACQUES (1975) La Technique Informatique, Tomes 1 et II,
Masson.
B. DÉMIDOVITCH et L. MARON (1979) El . éments de Calcul Numérique, Éditions MIR.
P. HENRICI (1964) Elements of Numerical Analysis, Wiley.
F. HILDEBRAND (1956) Introduction to the numerical analysis, Mc Graw-Hill.
D. Mc CRACKEN et W. DORN (1964) Numerical Methods and Fortran Programming, Wiley.
E. NAGEL, J. N EWMAN, K. GODEL et J.-Y. GIRARD (1989) Le théorème de Godel, Seuil.
A. RALSTON et H.S. WILF (1965) Méthodes mathématiques pour calculateurs arithmétiques,
Dunod.
H. RUTISHAUSER (1990) Lectures on numerical mathematics, Springer-Verlag.
J. STOER et R. BULIRSCH (1993) Introduction to numerical analysis, Springer-Verlag.
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