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M´ ethodes directes pour la r´ esolution des syst` emes lin´ eaires
A(n,n)=sqrt(A(n,n));
A = tril(A); A=A’;
return
3.4.3 Matrices rectangulaires : la factorisation QR
D´ efinition 3.1 On dit qu’une matrice A ∈ R
m×n , avec m ≥ n, admet une
factorisation QR s’il existe une matrice orthogonale Q ∈ R
m×m et une matrice
trap´ ezo¨ ıdale sup´ erieure R ∈ R
m×n (voir Section 1.6) dont les lignes sont nulles
` a partir de la n + 1-i` eme, telles que
A = QR.
(3.43)
On peut construire cette factorisation en utilisant des matrices de transformation bien choisies (matrices de Givens ou Householder, voir Section 5.6.1),
ou bien en utilisant le proc´ ed´ e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt d´ etaill´ e
ci-dessous.
Il est ´ egalement possible d’obtenir une version r´ eduite de la factorisation QR (3.43), comme le montre le r´ esultat suivant.
Propri´ et´ e 3.3 Soit A ∈ R
m×n une matrice de rang n pour laquelle on
connaˆ ıt une factorisation QR. Alors, il existe une unique factorisation de A
de la forme
A =
Q
R,
(3.44)
o` u
Q et
R sont des sous-matrices de Q et R d´ efinies par
Q = Q(1 : m, 1 : n),
R = R(1 : n, 1 : n).
(3.45)
De plus, les vecteurs colonnes de
Q forment une famille orthonormale,
R est
triangulaire sup´ erieure et co¨ ıncide avec la matrice de Cholesky H de la matrice
sym´ etrique d´ efinie positive A
T A, c’est-` a-dire A
T A =
R
T
R.
Si A est de rang n (i.e. de rang maximal), les vecteurs colonnes de ˜
Q
forment une base orthonormale de l’espace vectoriel Im(A) (d´ efini en (1.6)).
La d´ ecomposition QR de A peut donc ˆ etre vue comme une technique pour
construire une base orthonormale de Im(A).
Si le rang r de A est strictement inf´ erieur `
a n, la factorisation QR ne
conduit pas n´ ecessairement ` a une base de Im(A). On peut n´ eanmoins obtenir
une factorisation de la forme
Q
T AP =
R 11 R 12
0
0
,